Номер 4.9, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.9, страница 86.

Условие.

4.9. Координата материальной точки изменяется с течением времени по закону $x = 5 \cos (2t + \pi/4)$ (см).

Определите амплитудное значение:

а) координаты;

б) скорости;

в) ускорения.

Решение.

Дано:

Закон изменения координаты материальной точки:

$x = 5\cos(2t + \pi/4)$ (см)

Это уравнение гармонических колебаний вида $x = A\cos(\omega t + \phi_0)$, где:

$\text{A}$ – амплитуда колебаний,

$\omega$ – циклическая (угловая) частота,

$\phi_0$ – начальная фаза.

Из уравнения находим:

Амплитуда $A = 5$ см

Циклическая частота $\omega = 2$ рад/с

Начальная фаза $\phi_0 = \pi/4$ рад

Перевод в систему СИ:

$A = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

$x_m$ - амплитудное значение координаты

$v_m$ - амплитудное значение скорости

$a_m$ - амплитудное значение ускорения

Решение:

а) координаты;

Амплитудное значение координаты (смещения) $x_m$ — это максимальное отклонение точки от положения равновесия. В уравнении гармонических колебаний оно соответствует коэффициенту $\text{A}$.

$x_m = A = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Ответ: амплитудное значение координаты равно 5 см или 0.05 м.

б) скорости;

Скорость точки $v(t)$ является первой производной от координаты по времени $\text{t}$: $v(t) = x'(t)$.

$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (5\cos(2t + \pi/4)) = -5 \cdot 2 \sin(2t + \pi/4) = -10\sin(2t + \pi/4)$ (см/с).

Амплитудное значение скорости $v_m$ — это максимальное значение модуля скорости. Оно равно коэффициенту перед тригонометрической функцией:

$v_m = A \cdot \omega = 5 \text{ см} \cdot 2 \text{ рад/с} = 10 \text{ см/с} = 0.1 \text{ м/с}$.

Ответ: амплитудное значение скорости равно 10 см/с или 0.1 м/с.

в) ускорения.

Ускорение точки $a(t)$ является первой производной от скорости по времени $\text{t}$: $a(t) = v'(t)$.

$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (-10\sin(2t + \pi/4)) = -10 \cdot 2 \cos(2t + \pi/4) = -20\cos(2t + \pi/4)$ (см/с²).

Амплитудное значение ускорения $a_m$ — это максимальное значение модуля ускорения. Оно равно коэффициенту перед тригонометрической функцией:

$a_m = A \cdot \omega^2 = 5 \text{ см} \cdot (2 \text{ рад/с})^2 = 5 \cdot 4 \text{ см/с}^2 = 20 \text{ см/с}^2 = 0.2 \text{ м/с}^2$.

Ответ: амплитудное значение ускорения равно 20 см/с² или 0.2 м/с².