Номер 4.2, страница 85 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.2, страница 85.

Условие.

4.2. Тело совершает гармонические колебания с периодом $\text{T}$ и амплитудой $\text{A}$ по прямолинейной траектории. Определите перемещение тела и пройденный путь за промежуток времени, равный: а) $\text{T}$; б) $T/2$; в) $3T/4$.

Рис. 4.1

Решение.

Дано:

Гармонические колебания тела.
Период колебаний: $\text{T}$
Амплитуда колебаний: $\text{A}$
Промежутки времени: $\Delta t_1 = T$, $\Delta t_2 = T/2$, $\Delta t_3 = 3T/4$

Найти:

Перемещение тела $\Delta x$ и пройденный им путь $\text{S}$ за каждый из указанных промежутков времени.

Решение:

Гармонические колебания тела по прямолинейной траектории можно описать уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $x(t)$ — смещение тела от положения равновесия в момент времени $\text{t}$, $\text{A}$ — амплитуда, $\omega = 2\pi/T$ — циклическая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Перемещение тела за промежуток времени $\Delta t$ — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Для прямолинейного движения перемещение равно разности конечной и начальной координат: $\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)$.

Пройденный путь $\text{S}$ — это длина траектории, пройденной телом. В отличие от перемещения, путь — скалярная неотрицательная величина.

Результаты для пройденного пути за указанные промежутки времени не зависят от начальной фазы колебаний. Однако перемещение от нее зависит. Для однозначности решения будем считать, что колебания начинаются из крайнего положения, например, при $t=0$ тело находится в точке с максимальным смещением $x(0) = A$. В этом случае начальная фаза $\phi_0 = 0$, и уравнение движения принимает вид:$x(t) = A \cos(\omega t) = A \cos(\frac{2\pi}{T}t)$.

а) За промежуток времени $\text{T}$

Начальное положение тела (при $t=0$): $x(0) = A$.

Конечное положение тела (при $t=T$): $x(T) = A \cos(\frac{2\pi}{T} \cdot T) = A \cos(2\pi) = A$.

Перемещение тела: $\Delta x = x(T) - x(0) = A - A = 0$.

За один полный период тело совершает одно полное колебание: оно движется от $x=A$ до $x=-A$ и возвращается обратно к $x=A$. Расстояние от $x=A$ до $x=-A$ равно $\text{2A}$. Таким образом, общий пройденный путь за период равен сумме путей "туда" и "обратно".

Пройденный путь: $S = 2A + 2A = 4A$.

Ответ: перемещение равно 0, пройденный путь равен $\text{4A}$.

б) За промежуток времени $T/2$

Начальное положение тела (при $t=0$): $x(0) = A$.

Конечное положение тела (при $t=T/2$): $x(T/2) = A \cos(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{2}) = A \cos(\pi) = -A$.

Перемещение тела: $\Delta x = x(T/2) - x(0) = -A - A = -2A$.

За половину периода тело перемещается из одного крайнего положения в другое. Движение происходит в одном направлении (в данном случае, в сторону отрицательных значений $\text{x}$), поэтому пройденный путь равен модулю перемещения.

Пройденный путь: $S = |-2A| = 2A$.

Ответ: перемещение равно $-2A$, пройденный путь равен $\text{2A}$.

в) За промежуток времени $3T/4$

Начальное положение тела (при $t=0$): $x(0) = A$.

Конечное положение тела (при $t=3T/4$): $x(3T/4) = A \cos(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{3T}{4}) = A \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Перемещение тела: $\Delta x = x(3T/4) - x(0) = 0 - A = -A$.

Для нахождения пути разобьем движение на участки. За первую половину периода (от $t=0$ до $t=T/2$) тело прошло путь, равный $\text{2A}$, оказавшись в точке $x=-A$. За следующую четверть периода (от $t=T/2$ до $t=3T/4$) тело двигалось из положения $x=-A$ в положение равновесия $x=0$, пройдя путь, равный $\text{A}$.

Суммарный пройденный путь за время $3T/4$ равен:

$S = 2A + A = 3A$.

Ответ: перемещение равно $-A$, пройденный путь равен $\text{3A}$.