Номер 4.7, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.7, страница 86.

Условие.

4.7. Тело совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см и начальной фазой $\pi/6$ рад. Найдите смещение тела от положения равновесия в момент времени:

а) 0;

б) $T/8$;

в) $T/6$.

Решение.

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 10$ см

Начальная фаза, $\varphi_0 = \pi/6$ рад

Моменты времени: $t_1 = 0$; $t_2 = T/8$; $t_3 = T/6$

Перевод в систему СИ:

$A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Смещение тела от положения равновесия $\text{x}$ в указанные моменты времени:

a) $x(0)$

б) $x(T/8)$

в) $x(T/6)$

Решение:

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$

где $x(t)$ — смещение тела от положения равновесия в момент времени $\text{t}$, $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\varphi_0$ — начальная фаза.

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $\text{T}$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение в уравнение колебаний:

$x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t + \varphi_0\right)$

Теперь найдем смещение для каждого заданного момента времени, подставляя значения $A = 10$ см и $\varphi_0 = \pi/6$ рад.

а) При $t = 0$:

$x(0) = 10 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) = 10 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Так как $\cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$x(0) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$ см

Ответ: $x(0) = 5\sqrt{3}$ см $\approx 8.66$ см.

б) При $t = T/8$:

$x(T/8) = 10 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{8} + \frac{\pi}{6}\right) = 10 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)$

Приведем дроби в аргументе косинуса к общему знаменателю:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$

$x(T/8) = 10 \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)$

Для вычисления $\cos(5\pi/12)$ воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

$\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Подставим это значение:

$x(T/8) = 10 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{5}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \approx 2.59$ см

Ответ: $x(T/8) = \frac{5}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ см $\approx 2.59$ см.

в) При $t = T/6$:

$x(T/6) = 10 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = 10 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right)$

Складываем дроби в аргументе:

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

Тогда смещение равно:

$x(T/6) = 10 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 10 \cdot 0 = 0$ см

Ответ: $x(T/6) = 0$ см.