Номер 4.10, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.10, страница 86.

Условие.

4.10. Проекция скорости материальной точки изменяется с течением времени по закону $v_x = 12 \cos(4t + 2\pi/3)$ (см/с). Запишите уравнение зависимости от времени:

а) проекции ускорения;

б) координаты.

Решение.

Дано:

Закон изменения проекции скорости материальной точки:

$v_x(t) = 12\cos(4t + 2\pi/3)$ (см/с)

Переведем амплитудное значение скорости в систему СИ:
$v_{max} = 12$ см/с $= 0.12$ м/с.
Тогда уравнение скорости в СИ примет вид:
$v_x(t) = 0.12\cos(4t + 2\pi/3)$ (м/с)

Найти:

а) $a_x(t)$ - уравнение зависимости проекции ускорения от времени.

б) $x(t)$ - уравнение зависимости координаты от времени.

Решение:

а) проекции ускорения

Проекция ускорения $a_x$ является первой производной по времени от проекции скорости $v_x$.
$a_x(t) = \frac{dv_x(t)}{dt} = v_x'(t)$.
Для нахождения уравнения зависимости проекции ускорения от времени необходимо продифференцировать заданное уравнение скорости по времени $\text{t}$:
$a_x(t) = (0.12\cos(4t + 2\pi/3))' = 0.12 \cdot (-\sin(4t + 2\pi/3)) \cdot (4t + 2\pi/3)'$.
$a_x(t) = 0.12 \cdot (-\sin(4t + 2\pi/3)) \cdot 4 = -0.48\sin(4t + 2\pi/3)$.
Таким образом, уравнение зависимости проекции ускорения от времени имеет вид:
$a_x(t) = -0.48\sin(4t + 2\pi/3)$ (м/с²).
Ответ: $a_x(t) = -0.48\sin(4t + 2\pi/3)$ (м/с²).

б) координаты

Проекция скорости $v_x$ является первой производной по времени от координаты $\text{x}$. Следовательно, для нахождения зависимости координаты от времени необходимо взять интеграл от функции скорости по времени $\text{t}$.
$x(t) = \int v_x(t) dt$.
$x(t) = \int 0.12\cos(4t + 2\pi/3) dt = 0.12 \int \cos(4t + 2\pi/3) dt$.
$x(t) = 0.12 \cdot \frac{1}{4}\sin(4t + 2\pi/3) + C = 0.03\sin(4t + 2\pi/3) + C$.
Здесь $\text{C}$ — постоянная интегрирования, которая определяется начальными условиями (координатой точки в момент времени $t=0$). Так как начальные условия в задаче не указаны, оставляем решение в общем виде.
Таким образом, уравнение зависимости координаты от времени имеет вид:
$x(t) = 0.03\sin(4t + 2\pi/3) + C$ (м).
Ответ: $x(t) = 0.03\sin(4t + 2\pi/3) + C$ (м).