Номер 4.15, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.15, страница 86.

Условие.

4.15. Амплитуда гармонических колебаний, совершаемых материальной точкой, 20 см, а скорость при прохождении положения равновесия 0,628 м/с. Найдите период колебаний.

Решение.

Дано:

Амплитуда гармонических колебаний, $A = 20$ см

Скорость при прохождении положения равновесия, $v_{max} = 0,628$ м/с

Перевод в систему СИ:
$A = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

Найти:

Период колебаний, $\text{T}$

Решение:

Уравнение гармонических колебаний для смещения материальной точки от положения равновесия можно записать в виде:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $\text{A}$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $\text{t}$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.

Скорость точки является первой производной от смещения по времени:

$v(t) = x'(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi_0)$

Скорость достигает своего максимального значения по модулю, когда точка проходит положение равновесия ($x=0$). В этот момент множитель $|\sin(\omega t + \phi_0)|$ равен $\text{1}$. Таким образом, максимальная скорость равна:

$v_{max} = A \omega$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $\text{T}$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение в формулу для максимальной скорости:

$v_{max} = A \frac{2\pi}{T}$

Из этой формулы выразим искомый период колебаний $\text{T}$:

$T = \frac{2\pi A}{v_{max}}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ, принимая $\pi \approx 3,14$:

$T = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 0,2 \text{ м}}{0,628 \text{ м/с}} = \frac{6,28 \cdot 0,2 \text{ м}}{0,628 \text{ м/с}} = 10 \cdot 0,2 \text{ с} = 2 \text{ с}$

Ответ: $T = 2$ с.