Номер 4.12, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.12, страница 86.

Условие.

4.12*. Небольшой груз на нити длиной 61 см совершает колебания (рис. 4.2). Координата груза изменяется с течением времени по закону $x = 6,1\sin 4t$ (см). Определите:

а) зависимость от времени угла поворота $\varphi(t)$;

б) максимальную угловую скорость;

в) максимальное угловое ускорение.

Рис. 4.2

Решение.

Дано:

$l = 61 \text{ см}$

$x(t) = 6,1 \sin(4t) \text{ (см)}$

Перевод в систему СИ:

$l = 0,61 \text{ м}$

$x(t) = 0,061 \sin(4t) \text{ (м)}$

Из уравнения движения $x(t) = x_m \sin(\omega t + \phi_0)$ следует:

Амплитуда колебаний: $x_m = 0,061 \text{ м}$

Циклическая частота: $\omega = 4 \text{ рад/с}$

Найти:

а) $\phi(t)$

б) $\Omega_{max}$

в) $\varepsilon_{max}$

Решение:

а) Угол поворота нити $\phi$ связан с линейным смещением груза $\text{x}$ и длиной нити $\text{l}$ соотношением $x = l \sin\phi$.

Для малых углов колебаний (что справедливо в данном случае, так как $x_m \ll l$) можно использовать приближение $\sin\phi \approx \phi$, где угол $\phi$ выражен в радианах. Тогда $x \approx l \phi$.

Отсюда зависимость угла поворота от времени:

$\phi(t) = \frac{x(t)}{l} = \frac{0,061 \sin(4t)}{0,61} = 0,1 \sin(4t)$

Уравнение угловых колебаний имеет вид $\phi(t) = \phi_m \sin(\omega t)$, где $\phi_m$ — амплитуда угловых колебаний.

Сравнивая с полученным выражением, находим амплитуду угловых колебаний: $\phi_m = 0,1 \text{ рад}$.

Ответ: Зависимость угла поворота от времени имеет вид $\phi(t) = 0,1 \sin(4t)$ (рад).

б) Угловая скорость $\Omega$ является первой производной от угла поворота $\phi$ по времени $\text{t}$:

$\Omega(t) = \phi'(t) = \frac{d}{dt}(0,1 \sin(4t)) = 0,1 \cdot \cos(4t) \cdot (4t)' = 0,1 \cdot 4 \cdot \cos(4t) = 0,4 \cos(4t)$

Уравнение изменения угловой скорости имеет вид $\Omega(t) = \Omega_{max} \cos(\omega t)$. Максимальная угловая скорость $\Omega_{max}$ — это амплитуда колебаний угловой скорости. Она достигается, когда $\cos(4t) = 1$.

$\Omega_{max} = 0,4 \text{ рад/с}$

Также максимальную угловую скорость можно найти по формуле $\Omega_{max} = \phi_m \cdot \omega = 0,1 \text{ рад} \cdot 4 \text{ рад/с} = 0,4 \text{ рад/с}$.

Ответ: Максимальная угловая скорость $\Omega_{max} = 0,4 \text{ рад/с}$.

в) Угловое ускорение $\varepsilon$ является первой производной от угловой скорости $\Omega$ по времени $\text{t}$ (или второй производной от угла $\phi$):

$\varepsilon(t) = \Omega'(t) = \frac{d}{dt}(0,4 \cos(4t)) = 0,4 \cdot (-\sin(4t)) \cdot (4t)' = -0,4 \cdot 4 \cdot \sin(4t) = -1,6 \sin(4t)$

Уравнение изменения углового ускорения имеет вид $\varepsilon(t) = -\varepsilon_{max} \sin(\omega t)$. Максимальное угловое ускорение $\varepsilon_{max}$ — это амплитуда колебаний углового ускорения. Оно достигается, когда $|\sin(4t)| = 1$.

$\varepsilon_{max} = 1,6 \text{ рад/с}^2$

Также максимальное угловое ускорение можно найти по формуле $\varepsilon_{max} = \phi_m \cdot \omega^2 = 0,1 \text{ рад} \cdot (4 \text{ рад/с})^2 = 0,1 \cdot 16 = 1,6 \text{ рад/с}^2$.

Ответ: Максимальное угловое ускорение $\varepsilon_{max} = 1,6 \text{ рад/с}^2$.