Номер 4.24, страница 87 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.24, страница 87.

Условие.

4.24*. Материальная точка совершает гармонические колебания. При смещении от положения равновесия на 4 см её скорость равна 6 см/с, а при смещении на 3 см — 8 см/с. Найдите циклическую частоту колебаний.

Решение.

Дано:

$x_1 = 4 \text{ см}$

$v_1 = 6 \text{ см/с}$

$x_2 = 3 \text{ см}$

$v_2 = 8 \text{ см/с}$

Перевод в систему СИ:

$x_1 = 0.04 \text{ м}$

$v_1 = 0.06 \text{ м/с}$

$x_2 = 0.03 \text{ м}$

$v_2 = 0.08 \text{ м/с}$

Найти:

$\omega$ - ?

Решение:

Связь между скоростью $\text{v}$ и смещением $\text{x}$ материальной точки, совершающей гармонические колебания, можно выразить через закон сохранения энергии или из кинематических уравнений. Эта связь имеет вид:

$v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$

где $\text{A}$ — амплитуда колебаний, а $\omega$ — циклическая (угловая) частота.

В задаче даны два состояния системы. Для каждого состояния можно записать свое уравнение. Для удобства вычислений можно использовать исходные единицы измерения (см и см/с), так как они согласованы, и итоговый ответ для частоты получится в рад/с.

1. При смещении $x_1 = 4 \text{ см}$ скорость $v_1 = 6 \text{ см/с}$. Подставим эти значения в формулу:

$v_1^2 = \omega^2(A^2 - x_1^2)$

$6^2 = \omega^2(A^2 - 4^2)$

$36 = \omega^2(A^2 - 16)$

2. При смещении $x_2 = 3 \text{ см}$ скорость $v_2 = 8 \text{ см/с}$. Подставим и эти значения:

$v_2^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2)$

$8^2 = \omega^2(A^2 - 3^2)$

$64 = \omega^2(A^2 - 9)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $A^2$ и $\omega^2$.

$\begin{cases} 36 = \omega^2(A^2 - 16) \\ 64 = \omega^2(A^2 - 9) \end{cases}$

Выразим $A^2$ из обоих уравнений.

Из первого уравнения:

$\frac{36}{\omega^2} = A^2 - 16 \implies A^2 = 16 + \frac{36}{\omega^2}$

Из второго уравнения:

$\frac{64}{\omega^2} = A^2 - 9 \implies A^2 = 9 + \frac{64}{\omega^2}$

Теперь приравняем правые части выражений для $A^2$:

$16 + \frac{36}{\omega^2} = 9 + \frac{64}{\omega^2}$

Сгруппируем слагаемые:

$16 - 9 = \frac{64}{\omega^2} - \frac{36}{\omega^2}$

$7 = \frac{28}{\omega^2}$

Отсюда находим квадрат циклической частоты:

$\omega^2 = \frac{28}{7} = 4 \text{ (рад/с)}^2$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти саму частоту (частота является положительной величиной):

$\omega = \sqrt{4} = 2 \text{ рад/с}$

Ответ:

Циклическая частота колебаний равна $2 \text{ рад/с}$.