Номер 4.33, страница 89 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.33, страница 89.

Условие.

4.33*. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см. Частота колебаний 0,5 Гц. В начальный момент времени точка находилась в положении равновесия.

а) Напишите уравнение зависимости $x(t)$ координаты точки от времени.

б) Определите промежуток времени, через который смещение будет 7,1 см.

Решение.

Дано:

Амплитуда, $A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Частота, $\nu = 0.5 \text{ Гц}$

Начальное смещение (при $t=0$), $x_0 = 0$

Смещение, $x = 7.1 \text{ см} = 0.071 \text{ м}$

Найти:

а) Уравнение зависимости $x(t)$

б) Время $\text{t}$, через которое смещение будет $\text{x}$

Решение:

а) Напишите уравнение зависимости x(t) координаты точки от времени.

Общее уравнение гармонических колебаний имеет вид: $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (круговая) частота, $\text{t}$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.

Циклическая частота связана с частотой колебаний $\nu$ соотношением: $\omega = 2\pi\nu$.

Подставим значение частоты из условия:

$\omega = 2\pi \cdot 0.5 = \pi \text{ рад/с}$.

Начальную фазу $\phi_0$ определим из начальных условий. В начальный момент времени ($t=0$) точка находилась в положении равновесия ($x=0$). Подставляем эти значения в общее уравнение:

$x(0) = A \sin(\omega \cdot 0 + \phi_0) = A \sin(\phi_0)$.

Так как $x(0)=0$, получаем $A \sin(\phi_0) = 0$. Поскольку амплитуда $A \ne 0$, то $\sin(\phi_0) = 0$, откуда $\phi_0 = 0$ (при условии, что начальная скорость направлена в положительную сторону оси $\text{x}$).

Таким образом, подставив значения $\text{A}$, $\omega$ и $\phi_0$ в общее уравнение, получаем искомое уравнение зависимости $x(t)$ в системе СИ:

$x(t) = 0.1 \sin(\pi t)$.

Ответ: Уравнение зависимости координаты точки от времени в СИ: $x(t) = 0.1 \sin(\pi t)$.

б) Определите промежуток времени, через который смещение будет 7,1 см.

Найдем время $\text{t}$, через которое смещение $\text{x}$ будет равно $7.1 \text{ см}$ ($0.071 \text{ м}$). Для этого подставим значение $\text{x}$ в полученное в пункте (а) уравнение:

$0.071 = 0.1 \sin(\pi t)$

Выразим синус фазы:

$\sin(\pi t) = \frac{0.071}{0.1} = 0.71$

Отсюда фаза колебаний $\pi t$ равна арксинусу этого значения. Нас интересует наименьший положительный промежуток времени, поэтому берем главное значение арксинуса:

$\pi t = \arcsin(0.71)$

Используя калькулятор, находим значение арксинуса (в радианах):

$\arcsin(0.71) \approx 0.788 \text{ рад}$.

Следовательно:

$\pi t \approx 0.788$

Теперь выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{0.788}{\pi} \approx \frac{0.788}{3.14159} \approx 0.251 \text{ c}$.

Ответ: Промежуток времени равен примерно $0.25 \text{ с}$.