Номер 4.39, страница 90 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.39, страница 90.

Условие.

4.39. Максимальная кинетическая энергия материальной точки массой 5 кг, совершающей гармонические колебания, равна 2,5 Дж. Амплитуда колебаний 10 см. Определите период колебаний.

Решение.

Дано:

Масса материальной точки: $m = 5$ кг

Максимальная кинетическая энергия: $E_{k,max} = 2,5$ Дж

Амплитуда колебаний: $A = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$A = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

Период колебаний $\text{T}$

Решение:

Максимальная кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, достигается в момент прохождения положения равновесия, когда скорость точки максимальна. Она выражается формулой:

$E_{k,max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$

где $\text{m}$ — масса точки, а $v_{max}$ — максимальная скорость.

Максимальная скорость при гармонических колебаниях связана с амплитудой $\text{A}$ и циклической (угловой) частотой $\omega$ следующим соотношением:

$v_{max} = A\omega$

Подставим выражение для максимальной скорости в формулу для максимальной кинетической энергии:

$E_{k,max} = \frac{1}{2}m(A\omega)^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega^2$

Из этого уравнения мы можем выразить циклическую частоту $\omega$:

$\omega^2 = \frac{2E_{k,max}}{mA^2}$

$\omega = \sqrt{\frac{2E_{k,max}}{mA^2}}$

Подставим известные значения в систему СИ:

$\omega = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,5 \text{ Дж}}{5 \text{ кг} \cdot (0,1 \text{ м})^2}} = \sqrt{\frac{5}{5 \cdot 0,01}} = \sqrt{\frac{1}{0,01}} = \sqrt{100} = 10 \text{ рад/с}$

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой $\omega$ по формуле:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Теперь мы можем рассчитать период:

$T = \frac{2\pi}{10 \text{ рад/с}} = \frac{\pi}{5} \text{ с} \approx 0,628 \text{ с}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $0,63$ с.

Ответ: $T = \frac{\pi}{5} \text{ с} \approx 0,63 \text{ с}$.