Номер 4.45, страница 91 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.45, страница 91.

Условие.

4.45*. Тело массой 990 г, надетое на гладкий горизонтальный стержень, связано пружиной с неподвижной стенкой. В тело попадает и застревает в нём пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 500 м/с (рис. 4.12). Тело с застрявшей пулей начинает совершать колебания с амплитудой 10 см. Найдите период колебаний.

Рис. 4.12

Решение.

Дано

Масса тела, $M = 990 \text{ г}$

Масса пули, $m = 10 \text{ г}$

Скорость пули, $v = 500 \text{ м/с}$

Амплитуда колебаний, $A = 10 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$M = 0.99 \text{ кг}$

$m = 0.01 \text{ кг}$

$A = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$\text{T}$ - ?

Решение

Процесс можно разделить на два этапа: абсолютно неупругое соударение пули с телом и последующие гармонические колебания системы "тело с пулей".

1. Абсолютно неупругое соударение.

Поскольку внешние горизонтальные силы (сила трения) отсутствуют, для системы "пуля-тело" выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось. Импульс системы до столкновения равен импульсу летящей пули, так как тело покоилось. После столкновения пуля застревает в теле, и они движутся вместе с некоторой скоростью $\text{u}$.

$p_{до} = p_{после}$

$m \cdot v = (M + m) \cdot u$

Отсюда найдем скорость тела с пулей сразу после столкновения:

$u = \frac{m \cdot v}{M + m}$

Подставим числовые значения:

$u = \frac{0.01 \text{ кг} \cdot 500 \text{ м/с}}{0.99 \text{ кг} + 0.01 \text{ кг}} = \frac{5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{1 \text{ кг}} = 5 \text{ м/с}$

2. Гармонические колебания.

Столкновение происходит, когда пружина не деформирована, то есть в положении равновесия. Поэтому скорость $\text{u}$, полученная телом сразу после удара, является максимальной скоростью ($v_{max}$) в процессе дальнейших колебаний.

$v_{max} = u = 5 \text{ м/с}$

Максимальная скорость при гармонических колебаниях связана с амплитудой $\text{A}$ и циклической частотой $\omega$ соотношением:

$v_{max} = \omega \cdot A$

Из этой формулы мы можем выразить циклическую частоту колебаний:

$\omega = \frac{v_{max}}{A} = \frac{5 \text{ м/с}}{0.1 \text{ м}} = 50 \text{ рад/с}$

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой $\omega$ следующей формулой:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Подставим найденное значение $\omega$:

$T = \frac{2\pi}{50} = \frac{\pi}{25} \text{ с}$

Вычислим приближенное значение:

$T \approx \frac{3.14159}{25} \approx 0.126 \text{ с}$

Ответ: $T = \frac{\pi}{25} \text{ с} \approx 0.126 \text{ с}$.