Номер 4.52, страница 92 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.52, страница 92.

Условие.

4.52. Во сколько раз изменится частота колебаний груза, подвешенного на пружине, после:

а) увеличения его массы в 2 раза;

б) уменьшения длины пружины в 16 раз?

Решение.

Дано:

а) $m_2 = 2 \cdot m_1$

б) $L_2 = \frac{L_1}{16}$

Найти:

a) $\frac{ν_2}{ν_1}$ — ?

б) $\frac{ν_2}{ν_1}$ — ?

Решение:

Частота свободных колебаний груза на пружине (пружинного маятника) определяется по формуле:

$ν = \frac{1}{2π} \sqrt{\frac{k}{m}}$

где $\text{k}$ — это жесткость пружины, а $\text{m}$ — масса груза. Рассмотрим, как изменится частота в каждом из заданных случаев.

a) увеличение его массы в 2 раза

Начальная частота колебаний равна $ν_1 = \frac{1}{2π} \sqrt{\frac{k}{m_1}}$.

После увеличения массы в 2 раза новая масса станет $m_2 = 2m_1$. Жесткость пружины $\text{k}$ при этом не изменится.

Новая частота колебаний будет равна $ν_2 = \frac{1}{2π} \sqrt{\frac{k}{m_2}} = \frac{1}{2π} \sqrt{\frac{k}{2m_1}}$.

Чтобы определить, во сколько раз изменилась частота, найдем отношение новой частоты $ν_2$ к начальной $ν_1$:

$\frac{ν_2}{ν_1} = \frac{\frac{1}{2π} \sqrt{\frac{k}{2m_1}}}{\frac{1}{2π} \sqrt{\frac{k}{m_1}}} = \sqrt{\frac{k/2m_1}{k/m_1}} = \sqrt{\frac{m_1}{2m_1}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Следовательно, частота колебаний уменьшится в $\sqrt{2}$ раз (примерно в 1.41 раза).

Ответ: Частота уменьшится в $\sqrt{2}$ раз.

б) уменьшение длины пружины в 16 раз

Жесткость пружины $\text{k}$ обратно пропорциональна ее длине $\text{L}$ (при условии, что материал и площадь поперечного сечения пружины не меняются). Это можно выразить соотношением $k \cdot L = \text{const}$.

Пусть начальная жесткость и длина пружины равны $k_1$ и $L_1$ соответственно. Новая длина пружины $L_2 = \frac{L_1}{16}$.

Найдем новую жесткость $k_2$ из условия $k_1 L_1 = k_2 L_2$:

$k_2 = k_1 \frac{L_1}{L_2} = k_1 \frac{L_1}{L_1/16} = 16 k_1$

То есть при уменьшении длины пружины в 16 раз ее жесткость увеличивается в 16 раз. Масса груза $\text{m}$ в этом случае остается неизменной.

Начальная частота: $ν_1 = \frac{1}{2π} \sqrt{\frac{k_1}{m}}$.

Новая частота: $ν_2 = \frac{1}{2π} \sqrt{\frac{k_2}{m}} = \frac{1}{2π} \sqrt{\frac{16k_1}{m}}$.

Найдем отношение новой частоты к начальной:

$\frac{ν_2}{ν_1} = \frac{\frac{1}{2π} \sqrt{\frac{16k_1}{m}}}{\frac{1}{2π} \sqrt{\frac{k_1}{m}}} = \sqrt{\frac{16k_1/m}{k_1/m}} = \sqrt{16} = 4$

Следовательно, частота колебаний увеличится в 4 раза.

Ответ: Частота увеличится в 4 раза.