Номер 4.59, страница 93 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.59, страница 93.

Условие.

4.59. Груз, подвешенный на пружине, колеблется с периодом 0,5 с. На сколько укоротится пружина, если снять с неё груз?

Решение.

Дано:

Период колебаний груза, $T = 0,5$ с

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

На сколько укоротится пружина, $\Delta l$ - ?

Решение:

Величина, на которую укоротится пружина после снятия груза, равна величине её растяжения $\Delta l$ в положении равновесия, когда груз был подвешен.

Период колебаний пружинного маятника (груза на пружине) определяется по формуле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{m}$ – масса груза, а $\text{k}$ – жёсткость пружины.

В положении равновесия сила тяжести $F_{тяж}$, действующая на груз, уравновешивается силой упругости $F_{упр}$, возникающей в пружине. Сила тяжести равна $F_{тяж} = mg$. Сила упругости, согласно закону Гука, равна $F_{упр} = k \Delta l$, где $\Delta l$ – растяжение пружины.

Из условия равновесия $F_{тяж} = F_{упр}$ имеем:

$mg = k \Delta l$

Из этого уравнения выразим отношение массы к жёсткости пружины $\frac{m}{k}$:

$\frac{m}{k} = \frac{\Delta l}{g}$

Теперь подставим это выражение в формулу для периода колебаний:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}}$

Чтобы найти искомое растяжение $\Delta l$, выразим его из этой формулы. Сначала возведём обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{\Delta l}{g} = 4\pi^2 \frac{\Delta l}{g}$

Отсюда выражаем $\Delta l$:

$\Delta l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta l = \frac{(0,5 \text{ с})^2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{4\pi^2} = \frac{0,25 \text{ с}^2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{4\pi^2} \approx \frac{2,45 \text{ м}}{4 \cdot (3,1416)^2} \approx \frac{2,45 \text{ м}}{4 \cdot 9,8696} \approx \frac{2,45 \text{ м}}{39,4784} \approx 0,062 \text{ м}$

Переведём полученное значение в сантиметры: $0,062 \text{ м} = 6,2 \text{ см}$.

Ответ: пружина укоротится примерно на $6,2$ см.