Номер 4.63, страница 93 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.63, страница 93.

Условие.

4.63*. Тело массой $\text{m}$ совершает колебательные движения в системе, показанной на рисунке 4.16. Жёсткости пружин — $k_1$ и $k_2$. Определите период колебаний тела, пренебрегая трением.

Рис. 4.16

Решение.

а)

Дано:
Масса тела: $\text{m}$
Жёсткость первой пружины: $k_1$
Жёсткость второй пружины: $k_2$

Найти:
Период колебаний: $T_a$

Решение:
В системе, показанной на рисунке а, пружины соединены последовательно. При последовательном соединении общая деформация системы равна сумме деформаций каждой из пружин, а сила, действующая на каждую пружину, одинакова.

Пусть к системе приложена сила $\text{F}$. Тогда удлинение первой пружины $x_1 = \frac{F}{k_1}$, а удлинение второй пружины $x_2 = \frac{F}{k_2}$.

Общее удлинение системы $\text{x}$ равно:

$x = x_1 + x_2 = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

Эту систему из двух пружин можно заменить одной пружиной с эквивалентной жёсткостью $k_{экв}$, для которой по закону Гука $F = k_{экв} \cdot x$. Отсюда $x = \frac{F}{k_{экв}}$.

Приравнивая выражения для общего удлинения $\text{x}$, получим:

$\frac{F}{k_{экв}} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

Сократив $\text{F}$, находим обратную величину эквивалентной жёсткости:

$\frac{1}{k_{экв}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{k_2 + k_1}{k_1 k_2}$

Отсюда эквивалентная жёсткость для случая а равна:

$k_{экв, a} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$

Период колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{экв}}}$

Подставив выражение для $k_{экв, a}$, получим период колебаний для данной системы:

$T_a = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}$

Ответ: $T_a = 2\pi\sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}$

б)

Дано:
Масса тела: $\text{m}$
Жёсткость первой пружины: $k_1$
Жёсткость второй пружины: $k_2$

Найти:
Период колебаний: $T_б$

Решение:
В системе, показанной на рисунке б, пружины действуют на тело одновременно, и их деформация равна смещению тела от положения равновесия. Такое соединение является параллельным.

Сместим тело из положения равновесия на расстояние $\text{x}$. При этом первая пружина (с жёсткостью $k_1$) деформируется на $\text{x}$, создавая возвращающую силу $F_1 = -k_1 x$. Вторая пружина (с жёсткостью $k_2$) также деформируется на $\text{x}$ и создает возвращающую силу $F_2 = -k_2 x$. Обе силы направлены в сторону, противоположную смещению.

Результирующая возвращающая сила, действующая на тело, равна сумме сил от обеих пружин:

$F_{рез} = F_1 + F_2 = -k_1 x - k_2 x = -(k_1 + k_2)x$

Результирующая сила подчиняется закону Гука $F_{рез} = -k_{экв} \cdot x$, где эквивалентная жёсткость системы $k_{экв, б}$ для случая б равна:

$k_{экв, б} = k_1 + k_2$

Период колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{экв}}}$

Подставив выражение для $k_{экв, б}$, получим период колебаний для данной системы:

$T_б = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$

Ответ: $T_б = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$