Номер 4.68, страница 94 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.68, страница 94.

Условие.

4.68. Груз массой 0,5 кг колеблется с амплитудой 2 см на пружине жёсткостью 50 Н/м. Напишите уравнение зависимости координаты груза от времени. В момент времени $t = T/6$ определите:

а) смещение;

б) ускорение;

в) равнодействующую сил.

Решение.

Дано:

Масса груза $m = 0,5$ кг

Амплитуда колебаний $A = 2$ см

Жёсткость пружины $k = 50$ Н/м

Момент времени $t = T/6$

$A = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

Найти:

Уравнение $x(t)$

а) Смещение $x(t)$

б) Ускорение $a(t)$

в) Равнодействующую силу $F(t)$

Решение:

Уравнение гармонических колебаний в общем виде: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$. Примем, что колебания начинаются из положения максимального отклонения, тогда начальная фаза $\phi_0 = 0$. Уравнение примет вид: $x(t) = A \cos(\omega t)$.

Найдем циклическую (угловую) частоту колебаний $\omega$ для пружинного маятника:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50 \text{ Н/м}}{0,5 \text{ кг}}} = \sqrt{100 \text{ с}^{-2}} = 10 \text{ рад/с}$.

Подставив значения амплитуды $\text{A}$ и частоты $\omega$, получим искомое уравнение зависимости координаты груза от времени (в СИ):

$x(t) = 0,02 \cos(10t)$.

Теперь определим необходимые величины в момент времени $t = T/6$, где $\text{T}$ — период колебаний. Фаза колебаний $\omega t$ в этот момент будет равна:

$\omega t = \omega \cdot \frac{T}{6}$. Так как $T = \frac{2\pi}{\omega}$, то $\omega t = \omega \cdot \frac{2\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{3}$.

а) смещение

Подставим значение фазы в уравнение движения для нахождения смещения $\text{x}$:

$x = A \cos(\omega t) = 0,02 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 0,02 \cdot \frac{1}{2} = 0,01 \text{ м}$.

Ответ: смещение груза в момент времени $t = T/6$ равно $0,01$ м.

б) ускорение

Ускорение при гармонических колебаниях определяется по формуле $a(t) = -\omega^2 x(t)$.

Подставим найденное смещение и циклическую частоту:

$a = -(10 \text{ рад/с})^2 \cdot 0,01 \text{ м} = -100 \cdot 0,01 \text{ м/с}^2 = -1 \text{ м/с}^2$.

Знак «минус» показывает, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору смещения.

Ответ: ускорение груза в момент времени $t = T/6$ равно $-1 \text{ м/с}^2$.

в) равнодействующую сил

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила $\text{F}$ равна произведению массы тела на его ускорение: $F = ma$.

Подставим известные значения:

$F = 0,5 \text{ кг} \cdot (-1 \text{ м/с}^2) = -0,5 \text{ Н}$.

Знак «минус» указывает, что сила является возвращающей и направлена к положению равновесия.

Ответ: равнодействующая сил в момент времени $t = T/6$ равна $-0,5$ Н.