Номер 4.71, страница 95 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.71, страница 95.

Условие.

4.71. Груз массой 400 г совершает горизонтальные колебания с амплитудой 15 см на пружине жёсткостью 250 Н/м. Найдите:

а) полную механическую энергию;

б) частоту колебаний груза.

Решение.

Дано:

$m = 400 \text{ г}$

$A = 15 \text{ см}$

$k = 250 \text{ Н/м}$

Перевод в систему СИ:

$m = 0.4 \text{ кг}$

$A = 0.15 \text{ м}$

Найти:

а) $E_{полн}$ - ?

б) $\nu$ - ?

Решение:

а) полную механическую энергию
Полная механическая энергия системы при гармонических колебаниях сохраняется. Она равна максимальной потенциальной энергии пружины, которая достигается при максимальном отклонении груза от положения равновесия, то есть на величину амплитуды $\text{A}$.
Формула для полной механической энергии:
$E_{полн} = E_{p, max} = \frac{k A^2}{2}$
Подставим числовые значения в систему СИ:
$E_{полн} = \frac{250 \text{ Н/м} \cdot (0.15 \text{ м})^2}{2} = \frac{250 \cdot 0.0225}{2} = 2.8125 \text{ Дж}$
Ответ: полная механическая энергия равна $2.8125$ Дж.

б) частоту колебаний груза
Частота колебаний пружинного маятника $\nu$ определяется его массой $\text{m}$ и жёсткостью пружины $\text{k}$. Она связана с циклической (угловой) частотой $\omega$ соотношением $\omega = 2\pi\nu$.
Циклическая частота для пружинного маятника находится по формуле:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
Выразим из этих формул линейную частоту $\nu$:
$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$
Подставим числовые значения:
$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{250 \text{ Н/м}}{0.4 \text{ кг}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{625 \text{ с}^{-2}} = \frac{25}{2\pi} \text{ Гц} \approx 3.98 \text{ Гц}$
Ответ: частота колебаний груза примерно равна $3.98$ Гц.