Номер 4.73, страница 95 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.73, страница 95.

Условие.

4.73. Найдите массу груза, колеблющегося на пружине жёсткостью 0,5 кН/м, если при амплитуде колебаний 6 см он имеет максимальную скорость 3 м/с.

Решение.

Дано:

Жёсткость пружины $k = 0,5 \text{ кН/м}$

Амплитуда колебаний $A = 6 \text{ см}$

Максимальная скорость груза $v_{max} = 3 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$k = 0,5 \cdot 10^3 \text{ Н/м} = 500 \text{ Н/м}$

$A = 6 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,06 \text{ м}$

Найти:

Массу груза $\text{m}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии для колебательной системы "груз-пружина". Полная механическая энергия $\text{W}$ такой системы остается постоянной, если пренебречь силами трения и сопротивления воздуха.

В крайних точках траектории, когда смещение от положения равновесия равно амплитуде ($x=A$), скорость груза равна нулю ($v=0$). В этот момент вся энергия системы является потенциальной энергией упруго деформированной пружины:

$W = W_{p, max} = \frac{kA^2}{2}$

При прохождении грузом положения равновесия ($x=0$) его скорость максимальна ($v = v_{max}$), а деформация пружины и, следовательно, её потенциальная энергия равны нулю. В этот момент вся энергия системы является кинетической энергией груза:

$W = W_{k, max} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Так как полная энергия сохраняется, приравняем выражения для максимальной потенциальной и максимальной кинетической энергий:

$W_{p, max} = W_{k, max}$

$\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$kA^2 = mv_{max}^2$

Из этого соотношения выразим искомую массу груза $\text{m}$:

$m = \frac{kA^2}{v_{max}^2}$

Подставим числовые значения из условия, переведенные в систему СИ, в полученную формулу и произведем вычисления:

$m = \frac{500 \text{ Н/м} \cdot (0,06 \text{ м})^2}{(3 \text{ м/с})^2} = \frac{500 \cdot 0,0036}{9} = \frac{1,8}{9} = 0,2 \text{ кг}$

Ответ: масса груза равна 0,2 кг.