Номер 4.67, страница 94 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.67, страница 94.

Условие.

4.67. Координата груза массой 0,4 кг, подвешенного на пружине, изменяется с течением времени в соответствии с уравнением $x = 0,02 \sin \pi t$ (м). Определите:

а) жёсткость пружины;

б) путь, пройденный грузом за 2,2 с, считая от начала движения.

Решение.

Дано:

Масса груза: $m = 0,4$ кг

Уравнение движения: $x = 0,02\sin(\pi t)$ м

Время движения: $t = 2,2$ с

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

а) Жёсткость пружины: $\text{k}$

б) Путь, пройденный грузом: $\text{S}$

Решение:

Уравнение гармонических колебаний в общем виде записывается как $x(t) = A\sin(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Сравнивая общее уравнение с заданным уравнением движения $x = 0,02\sin(\pi t)$, мы можем определить параметры колебаний:

Амплитуда: $A = 0,02$ м.

Циклическая частота: $\omega = \pi$ рад/с.

а) жёсткость пружины

Циклическая частота пружинного маятника определяется по формуле: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Отсюда можно выразить жёсткость пружины $\text{k}$:

$\omega^2 = \frac{k}{m} \implies k = m\omega^2$

Подставим известные значения массы и циклической частоты:

$k = 0,4 \cdot (\pi)^2 \approx 0,4 \cdot 9,87 \approx 3,948$ Н/м.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $k \approx 3,9$ Н/м.

Ответ: жёсткость пружины составляет примерно $3,9$ Н/м.

б) путь, пройденный грузом за 2,2 с, считая от начала движения

Для нахождения пути необходимо сначала определить период колебаний $\text{T}$.

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ с.

За один полный период колебаний ($\text{T}$) тело проходит путь, равный четырём амплитудам ($\text{4A}$), так как оно движется от положения равновесия до одного крайнего положения, обратно к равновесию, до другого крайнего положения и снова к равновесию.

Путь за один период: $S_T = 4A = 4 \cdot 0,02 = 0,08$ м.

Общее время движения $t = 2,2$ с. Это время состоит из одного полного периода и ещё $0,2$ с:

$t = 2,2 \text{ с} = 1 \cdot T + 0,2 \text{ с}$.

За один полный период ($\text{2}$ с) груз пройдёт путь $S_1 = 4A = 0,08$ м.

Далее нужно определить путь $S_2$, который груз пройдёт за оставшееся время $\Delta t = 0,2$ с. Движение на этом отрезке времени будет таким же, как и на отрезке от $t=0$ до $t=0,2$ с.

Время движения от положения равновесия до крайнего положения составляет четверть периода: $T/4 = 2/4 = 0,5$ с. Поскольку $\Delta t = 0,2 \text{ с} < 0,5$ с, груз движется в одном направлении, не меняя его. Следовательно, путь равен модулю перемещения.

Перемещение за первые $0,2$ с:

$x(0,2) = 0,02\sin(\pi \cdot 0,2) = 0,02\sin(0,2\pi)$.

Так как в начальный момент $x(0)=0$, путь за это время равен:

$S_2 = |x(0,2) - x(0)| = 0,02\sin(0,2\pi) \approx 0,02 \cdot 0,5878 \approx 0,01176$ м.

Полный путь $\text{S}$ за $2,2$ с равен сумме путей $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 \approx 0,08 + 0,01176 = 0,09176$ м.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $S \approx 0,092$ м.

Ответ: путь, пройденный грузом за 2,2 с, составляет примерно $0,092$ м.