Номер 4.61, страница 93 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.61, страница 93.

Условие.

4.61. Груз массой 8 кг, подвешенный на пружине, совершает гармонические колебания с периодом $\text{T}$. На сколько нужно уменьшить массу груза, чтобы период колебаний уменьшился на:

а) $T/2$;

б) $3T/4$?

Решение.

Дано:

$m_1 = 8$ кг

$T_1 = T$

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

$\Delta m = m_1 - m_2$ — на сколько нужно уменьшить массу груза для случаев а) и б).

Решение:

Период гармонических колебаний пружинного маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{m}$ — масса груза, а $\text{k}$ — жесткость пружины.

Для начального состояния с массой $m_1$ и периодом $T_1 = T$ имеем:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$

Для конечного состояния с новой массой $m_2$ и новым периодом $T_2$ имеем:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}$

Поскольку пружина та же, ее жесткость $\text{k}$ является постоянной величиной. Составим отношение периодов:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Из этого соотношения можно выразить массу $m_2$ через $m_1$ и периоды. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \frac{m_2}{m_1}$

$m_2 = m_1 \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$

Изменение массы $\Delta m$ — это разница между начальной и конечной массами:

$\Delta m = m_1 - m_2 = m_1 - m_1 \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = m_1 \left(1 - \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2\right)$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а)

Требуется, чтобы новый период $T_2$ стал равен $T / 2$, то есть $T_2 = T_1 / 2$.

Подставим это соотношение в полученную формулу для $\Delta m$:

$\Delta m = m_1 \left(1 - \left(\frac{T_1/2}{T_1}\right)^2\right) = m_1 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) = m_1 \left(1 - \frac{1}{4}\right) = m_1 \cdot \frac{3}{4}$

Подставим числовое значение начальной массы $m_1 = 8$ кг:

$\Delta m = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$ кг.

Ответ: чтобы период колебаний уменьшился до $T/2$, массу груза нужно уменьшить на 6 кг.

б)

Требуется, чтобы новый период $T_2$ стал равен $3T / 4$, то есть $T_2 = 3T_1 / 4$.

Подставим это соотношение в формулу для $\Delta m$:

$\Delta m = m_1 \left(1 - \left(\frac{3T_1/4}{T_1}\right)^2\right) = m_1 \left(1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2\right) = m_1 \left(1 - \frac{9}{16}\right) = m_1 \left(\frac{16-9}{16}\right) = m_1 \cdot \frac{7}{16}$

Подставим числовое значение начальной массы $m_1 = 8$ кг:

$\Delta m = 8 \cdot \frac{7}{16} = \frac{7}{2} = 3,5$ кг.

Ответ: чтобы период колебаний уменьшился до $3T/4$, массу груза нужно уменьшить на 3,5 кг.