Номер 4.66, страница 94 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.66, страница 94.

Условие.

4.66. Груз массой 100 г, подвешенный на пружине, совершает колебания. График зависимости от времени проекции скорости $v_x$, м/с показан на рисунке 4.18. Определите:

а) амплитуду колебаний;

б) жёсткость пружины;

в) полную механическую энергию колебательной системы, считая, что потенциальная энергия равна нулю в положении равновесия.

Рис. 4.18

Решение.

Дано:

m = 100 г
Из графика:
Амплитуда скорости $v_{max} = 0,4$ м/с
Период $T = 4$ с

В системе СИ:
m = 0,1 кг

Найти:

а) A - ?
б) k - ?
в) E - ?

Решение:

Из графика зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ определяем основные характеристики колебаний.

Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) составляет $v_{max} = 0,4$ м/с.

Время, за которое скорость изменяется от 0 до своего максимального значения, равно 1 с. Это составляет четверть периода колебаний ($T/4$). Следовательно, полный период колебаний равен $T = 4 \cdot 1 \text{ с} = 4 \text{ с}$.

Зная период, можем найти циклическую (круговую) частоту колебаний:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4 \text{ с}} = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

а) Амплитуда колебаний $\text{A}$ связана с амплитудой скорости $v_{max}$ и циклической частотой $\omega$ соотношением:

$v_{max} = A \cdot \omega$

Отсюда выразим амплитуду $\text{A}$:

$A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{0,4 \text{ м/с}}{\pi/2 \text{ рад/с}} = \frac{0,8}{\pi} \text{ м} \approx 0,255 \text{ м}$.

Ответ: амплитуда колебаний составляет примерно 0,26 м.

б) Для пружинного маятника циклическая частота связана с массой груза $\text{m}$ и жёсткостью пружины $\text{k}$ формулой:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Выразим отсюда жёсткость $\text{k}$:

$\omega^2 = \frac{k}{m} \Rightarrow k = m \cdot \omega^2$

Подставим числовые значения:

$k = 0,1 \text{ кг} \cdot (\frac{\pi}{2} \text{ рад/с})^2 = 0,1 \cdot \frac{\pi^2}{4} \text{ Н/м} \approx 0,1 \cdot \frac{9,87}{4} \text{ Н/м} \approx 0,247 \text{ Н/м}$.

Ответ: жёсткость пружины составляет примерно 0,25 Н/м.

в) Полная механическая энергия колебательной системы $\text{E}$ равна максимальной кинетической энергии, которую груз имеет при прохождении положения равновесия. В этой точке потенциальная энергия пружины равна нулю (согласно условию), а скорость максимальна.

$E = E_{k_{max}} = \frac{m v_{max}^2}{2}$

Подставим значения:

$E = \frac{0,1 \text{ кг} \cdot (0,4 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{0,1 \cdot 0,16}{2} \text{ Дж} = \frac{0,016}{2} \text{ Дж} = 0,008 \text{ Дж}$.

Ответ: полная механическая энергия колебательной системы равна 0,008 Дж (или 8 мДж).