Номер 4.70, страница 95 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.70, страница 95.

Условие.

4.70. На пружине жёсткостью 200 Н/м подвешен груз массой 8 кг. Грузу сообщают начальную скорость 1 м/с, направленную вниз. Определите амплитуду колебаний груза.

Решение.

Дано:

жёсткость пружины $k = 200$ Н/м
масса груза $m = 8$ кг
начальная скорость груза $v_0 = 1$ м/с

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Амплитуду колебаний $\text{A}$.

Решение:

Когда груз подвешен на пружине, он устанавливается в положение равновесия, в котором сила упругости пружины компенсирует силу тяжести. Колебания груза будут происходить вокруг этого положения равновесия.

По условию, начальная скорость сообщается грузу, когда он находится в положении равновесия. В этот момент смещение груза от положения равновесия равно нулю ($x = 0$), а его кинетическая энергия максимальна. Потенциальная энергия упругой деформации пружины (относительно положения равновесия) в этот момент равна нулю.

Для нахождения амплитуды колебаний воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия системы "груз-пружина" $\text{E}$ сохраняется и равна сумме кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

В начальный момент времени, когда груз находится в положении равновесия ($x=0$) и движется со скоростью $v_0$, его полная энергия равна максимальной кинетической энергии:

$E = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{k \cdot 0^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2}$

В момент достижения грузом максимального смещения (амплитуды $\text{A}$), его скорость обращается в ноль ($v=0$). В этой точке полная энергия системы равна максимальной потенциальной энергии:

$E = \frac{m \cdot 0^2}{2} + \frac{kA^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$

Так как полная механическая энергия системы сохраняется, мы можем приравнять эти два выражения:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$

Сократив на $\frac{1}{2}$, получим:

$mv_0^2 = kA^2$

Выразим из этого уравнения амплитуду $\text{A}$:

$A^2 = \frac{mv_0^2}{k}$

$A = v_0 \sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$A = 1 \cdot \sqrt{\frac{8}{200}} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \sqrt{0.04} = 0.2$ м

Ответ: амплитуда колебаний груза равна $0.2$ м.