Номер 4.76, страница 95 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.76, страница 95.

Условие.

ую энергию, $\text{v}$ — скорость груза.

4.76. Найдите скорость колеблющегося тела массой 3 кг при смещении его от положения равновесия на 3 см, если жёсткость пружины 120 кН/м, а скорость его в положении равновесия 10 м/с.

Решение.

Дано:

Масса тела, $m = 3$ кг
Смещение от положения равновесия, $x = 3$ см
Жёсткость пружины, $k = 120$ кН/м
Скорость в положении равновесия, $v_{max} = 10$ м/с

Перевод в систему СИ:
$x = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$k = 120 \text{ кН/м} = 120 \times 10^3 \text{ Н/м}$

Найти:

Скорость тела $\text{v}$ при смещении $\text{x}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии для колебательной системы. Полная механическая энергия $\text{E}$ системы в любой момент времени складывается из кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$ и остается постоянной (в предположении отсутствия сил трения).

$E = E_k + E_p = \text{const}$

Кинетическая энергия тела определяется формулой: $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины: $E_p = \frac{kx^2}{2}$.

Таким образом, закон сохранения энергии можно записать в виде: $\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \text{const}$.

Полная энергия системы равна максимальной кинетической энергии, которую тело имеет при прохождении положения равновесия ($x=0$), так как в этой точке потенциальная энергия пружины равна нулю. В этот момент скорость тела максимальна ($v = v_{max}$).

$E_{полная} = E_{k,max} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Приравняем полную энергию системы к ее энергии в произвольной точке со смещением $\text{x}$ и скоростью $\text{v}$:

$\frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$mv_{max}^2 = mv^2 + kx^2$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $\text{v}$:

$mv^2 = mv_{max}^2 - kx^2$

$v^2 = \frac{mv_{max}^2 - kx^2}{m} = v_{max}^2 - \frac{k}{m}x^2$

$v = \sqrt{v_{max}^2 - \frac{k}{m}x^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v = \sqrt{(10 \text{ м/с})^2 - \frac{120 \times 10^3 \text{ Н/м}}{3 \text{ кг}} \times (0.03 \text{ м})^2}$

$v = \sqrt{100 - 40000 \times 0.0009}$

$v = \sqrt{100 - 36}$

$v = \sqrt{64}$

$v = 8$ м/с

Ответ: скорость колеблющегося тела при смещении на 3 см от положения равновесия составляет 8 м/с.