Номер 4.78, страница 95 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.78, страница 95.

Условие.

4.78*. Координата груза массой 100 г пружинного маятника, совершающего горизонтальные колебания, меняется с течением времени по закону $x = 5\cos 2\pi t$ (см). Определите:

а) жёсткость пружины;

б) полную механическую энергию колебательной системы;

в) наименьшее время, через которое потенциальная энергия маятника достигнет половины наибольшего значения.

Решение.

Дано:

m = 100 г
x(t) = 5cos(2πt) (см)

m = 100 г = 0.1 кг
Амплитуда из уравнения: A = 5 см = 0.05 м
Циклическая частота из уравнения: ω = 2π рад/с

Найти:

a) k - ?
б) E - ?
в) t - ?

Решение:

а) жёсткость пружины

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$, а циклическая частота связана с периодом как $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Отсюда следует, что $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.Из этой формулы мы можем выразить жёсткость пружины $\text{k}$:

$k = m \cdot \omega^2$

Из уравнения движения $x = 5\cos(2\pi t)$ мы видим, что циклическая частота $\omega = 2\pi$ рад/с. Подставим известные значения в формулу:

$k = 0.1 \text{ кг} \cdot (2\pi \text{ рад/с})^2 = 0.1 \cdot 4\pi^2 = 0.4\pi^2 \text{ Н/м}$

Вычислим приближённое значение, приняв $\pi^2 \approx 9.87$:

$k \approx 0.4 \cdot 9.87 \approx 3.95 \text{ Н/м}$

Ответ: $k = 0.4\pi^2 \text{ Н/м} \approx 3.95 \text{ Н/м}$.

б) полную механическую энергию колебательной системы

Полная механическая энергия гармонических колебаний постоянна и равна максимальной потенциальной энергии (или максимальной кинетической энергии). Максимальная потенциальная энергия достигается при максимальном отклонении от положения равновесия (т.е. при $x=A$).

$E = E_{p, \max} = \frac{k A^2}{2}$

Подставим значения жёсткости $\text{k}$ из пункта а) и амплитуды $\text{A}$:

$E = \frac{(0.4\pi^2 \text{ Н/м}) \cdot (0.05 \text{ м})^2}{2} = 0.2\pi^2 \cdot 0.0025 = 0.0005\pi^2 \text{ Дж}$

Вычислим приближённое значение:

$E \approx 0.0005 \cdot 9.87 \approx 0.004935 \text{ Дж} \approx 4.94 \text{ мДж}$

Ответ: $E = 0.0005\pi^2 \text{ Дж} \approx 4.94 \text{ мДж}$.

в) наименьшее время, через которое потенциальная энергия маятника достигнет половины наибольшего значения

Потенциальная энергия маятника в любой момент времени $\text{t}$ равна $E_p = \frac{k x^2}{2}$.Наибольшее значение потенциальной энергии $E_{p, \max} = \frac{k A^2}{2}$.

По условию задачи, $E_p = \frac{1}{2}E_{p, \max}$. Подставим выражения для энергий:

$\frac{k x^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{k A^2}{2}$

$x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$

Теперь нам нужно найти наименьшее положительное время $\text{t}$, при котором координата $\text{x}$ примет одно из этих значений. Используем данное в условии уравнение движения:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

Подставим найденное значение $\text{x}$:

$\pm \frac{A}{\sqrt{2}} = A \cos(\omega t)$

$\cos(\omega t) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Начальное положение маятника при $t=0$ соответствует $x(0) = A \cos(0) = A$. Маятник начинает движение из крайнего положения. Наименьшее время будет соответствовать ближайшему моменту, когда косинус станет равен $\frac{1}{\sqrt{2}}$ или $-\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Аргумент косинуса, соответствующий этим значениям, равен $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, ...$.Наименьший положительный угол, при котором выполняется условие, — это $\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\omega t = \frac{\pi}{4}$.

Подставим значение $\omega = 2\pi$ рад/с:

$2\pi t = \frac{\pi}{4}$

$t = \frac{\pi}{4 \cdot 2\pi} = \frac{1}{8} \text{ с} = 0.125 \text{ с}$

Ответ: $t = \frac{1}{8} \text{ с} = 0.125 \text{ с}$.