Номер 4.75, страница 95 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.75, страница 95.

Условие.

4.75. Груз массой $20 \text{ г}$ совершает горизонтальные колебания на пружине жёсткостью $50 \text{ Н/м}$ с амплитудой $4 \text{ см}$. Найдите в точке с координатой $2 \text{ см}$:

а) полную механическую энергию;

б) потенциальную энергию;

в) кинетическую энергию;

г) скорость груза.

Решение.

Дано:

$m = 20 \text{ г} = 0.02 \text{ кг}$

$k = 50 \text{ Н/м}$

$A = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$x = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

а) $\text{E}$ - ?

б) $E_p$ - ?

в) $E_k$ - ?

г) $\text{v}$ - ?

Решение:

а) полную механическую энергию

Полная механическая энергия гармонических колебаний является величиной постоянной. Она равна максимальной потенциальной энергии, которую система имеет при максимальном отклонении от положения равновесия (т.е. при смещении, равном амплитуде $\text{A}$).

Формула для полной механической энергии:

$E = E_{p,max} = \frac{kA^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$E = \frac{50 \text{ Н/м} \cdot (0.04 \text{ м})^2}{2} = 25 \text{ Н/м} \cdot 0.0016 \text{ м}^2 = 0.04 \text{ Дж}$

Ответ: 0.04 Дж

б) потенциальную энергию

Потенциальная энергия пружины в точке с координатой (смещением) $\text{x}$ определяется по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

Подставим значения для точки с координатой $x = 0.02 \text{ м}$:

$E_p = \frac{50 \text{ Н/м} \cdot (0.02 \text{ м})^2}{2} = 25 \text{ Н/м} \cdot 0.0004 \text{ м}^2 = 0.01 \text{ Дж}$

Ответ: 0.01 Дж

в) кинетическую энергию

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия $\text{E}$ является суммой потенциальной ($E_p$) и кинетической ($E_k$) энергий в любой точке траектории.

$E = E_p + E_k$

Отсюда кинетическую энергию можно найти как разность между полной и потенциальной энергиями:

$E_k = E - E_p$

$E_k = 0.04 \text{ Дж} - 0.01 \text{ Дж} = 0.03 \text{ Дж}$

Ответ: 0.03 Дж

г) скорость груза

Кинетическая энергия груза связана с его массой $\text{m}$ и скоростью $\text{v}$ соотношением:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Выразим скорость $\text{v}$ из этой формулы:

$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$

Подставим известные значения:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.03 \text{ Дж}}{0.02 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{0.06}{0.02}} \text{ м/с} = \sqrt{3} \text{ м/с} \approx 1.73 \text{ м/с}$

Ответ: $\sqrt{3}$ м/с $\approx 1.73$ м/с