Номер 4.77, страница 95 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.77, страница 95.

Условие.

4.77*. Груз массой $400 \text{ г}$ совершает горизонтальные колебания под действием пружины жёсткостью $30 \text{ Н/м}$. При каком смещении груза от положения равновесия его скорость равна $5 \text{ м/с}$, если в положении равновесия скорость $10 \text{ м/с}$?

Решение.

Дано:

$m = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$
$k = 30 \text{ Н/м}$
$v = 5 \text{ м/с}$
$v_{max} = 10 \text{ м/с}$ (скорость в положении равновесия)

Найти:

$\text{x}$ - ?

Решение:

Горизонтальные колебания груза на пружине представляют собой механическую систему, для которой выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия $\text{E}$ системы складывается из кинетической энергии груза $E_k$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины $E_p$.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

В положении равновесия ($x=0$) смещение равно нулю, поэтому потенциальная энергия пружины равна нулю. При этом скорость груза максимальна ($v = v_{max}$), и вся механическая энергия системы является кинетической:

$E = E_{k,max} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Поскольку полная энергия системы сохраняется, мы можем приравнять выражения для полной энергии в положении равновесия и в точке с искомым смещением $\text{x}$:

$\frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$mv_{max}^2 = mv^2 + kx^2$

Выразим из этого уравнения $kx^2$:

$kx^2 = mv_{max}^2 - mv^2 = m(v_{max}^2 - v^2)$

Теперь выразим искомое смещение $\text{x}$:

$x = \sqrt{\frac{m(v_{max}^2 - v^2)}{k}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$x = \sqrt{\frac{0.4 \cdot (10^2 - 5^2)}{30}} = \sqrt{\frac{0.4 \cdot (100 - 25)}{30}} = \sqrt{\frac{0.4 \cdot 75}{30}} = \sqrt{\frac{30}{30}} = \sqrt{1} = 1 \text{ (м)}$

Ответ: смещение груза от положения равновесия равно 1 м.