Номер 4.64, страница 93 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.64, страница 93.

Условие.

4.64*. При сборке пружинного маятника пружины жёсткостью $k_1$ и $k_2$ соединили один раз последовательно, второй раз параллельно. Найдите отношение периодов колебаний груза в этих случаях.

Решение.

Дано:

Жесткость первой пружины: $k_1$
Жесткость второй пружины: $k_2$
Масса груза: $\text{m}$

Найти:

Отношение периодов колебаний $\frac{T_{посл}}{T_{пар}}$

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется общей формулой: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{экв}}}$, где $\text{m}$ - масса груза, а $k_{экв}$ - эквивалентная (общая) жесткость системы пружин.

Рассмотрим два случая соединения пружин, описанные в задаче.

1. Последовательное соединение
При последовательном соединении общая жесткость $k_{посл}$ находится из соотношения:
$\frac{1}{k_{посл}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2}$
Отсюда эквивалентная жесткость равна: $k_{посл} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$
Период колебаний для этого случая ($T_{посл}$) будет равен: $T_{посл} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{посл}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}$

2. Параллельное соединение
При параллельном соединении пружин их жесткости складываются. Эквивалентная жесткость $k_{пар}$ равна:
$k_{пар} = k_1 + k_2$
Период колебаний для этого случая ($T_{пар}$) будет равен:
$T_{пар} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{пар}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$

3. Нахождение отношения периодов
Найдем отношение периода колебаний при последовательном соединении к периоду при параллельном соединении. Для этого разделим выражение для $T_{посл}$ на выражение для $T_{пар}$:
$\frac{T_{посл}}{T_{пар}} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}}$
Сократим одинаковые множители $2\pi$ и $\sqrt{m}$: $\frac{T_{посл}}{T_{пар}} = \frac{\sqrt{\frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2}}}{\sqrt{\frac{1}{k_1 + k_2}}} = \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2} \cdot \frac{k_1 + k_2}{1}} = \sqrt{\frac{(k_1 + k_2)^2}{k_1 k_2}}$
Извлекая квадратный корень из числителя, получаем окончательное выражение: $\frac{T_{посл}}{T_{пар}} = \frac{k_1 + k_2}{\sqrt{k_1 k_2}}$

Ответ: $\frac{T_{посл}}{T_{пар}} = \frac{k_1 + k_2}{\sqrt{k_1 k_2}}$.