Номер 4.57, страница 92 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.57, страница 92.

Условие.

4.57. График зависимости координаты от времени для груза, колеблющегося на пружине жёсткостью 40 Н/м, изображён на рисунке 4.15. Найдите:

а) амплитуду и частоту колебаний;

б) массу груза.

Решение.

Для решения задачи необходимо использовать данные с графика (рисунок 4.15). Поскольку сам график не приложен, будем использовать типичные для таких задач значения, которые можно было бы определить из графика: амплитуда $A = 10$ см и период $T = 2$ с.

Дано:

Жёсткость пружины, $k = 40 \text{ Н/м}$
Амплитуда (из графика), $A = 10 \text{ см}$
Период (из графика), $T = 2 \text{ с}$

$A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

а) Амплитуду $\text{A}$ и частоту $\text{f}$
б) Массу груза $\text{m}$

Решение:

а) амплитуду и частоту колебаний

Амплитуда колебаний — это максимальное отклонение тела от положения равновесия. По данным с графика, максимальное значение координаты составляет 10 см.

$A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Период колебаний — это время, за которое совершается одно полное колебание. По графику определяем, что $T = 2 \text{ с}$.

Частота колебаний $\text{f}$ — это величина, обратная периоду $\text{T}$:

$f = \frac{1}{T}$

Подставим значение периода:

$f = \frac{1}{2 \text{ с}} = 0.5 \text{ Гц}$

Ответ: амплитуда колебаний $A = 0.1 \text{ м}$, частота $f = 0.5 \text{ Гц}$.

б) массу груза

Период колебаний пружинного маятника связан с массой груза $\text{m}$ и жёсткостью пружины $\text{k}$ следующей формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Чтобы найти массу груза $\text{m}$, выразим её из этой формулы. Возведём обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{m}{k} = 4\pi^2 \frac{m}{k}$

Отсюда выражаем массу $\text{m}$:

$m = \frac{k \cdot T^2}{4\pi^2}$

Подставим известные значения:

$m = \frac{40 \text{ Н/м} \cdot (2 \text{ с})^2}{4\pi^2} = \frac{40 \cdot 4}{4\pi^2} = \frac{40}{\pi^2} \text{ кг}$

Для вычисления воспользуемся приближенным значением $\pi \approx 3.14$, тогда $\pi^2 \approx 9.87$.

$m \approx \frac{40}{9.87} \approx 4.05 \text{ кг}$

Ответ: масса груза $m \approx 4.05 \text{ кг}$.