Номер 4.50, страница 92 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.50, страница 92.

Условие.

4.50*. Маленький шарик массой $\text{m}$ надет на гладкую спицу и прикреплён лёгкой пружиной жёсткостью $\text{k}$ к вертикальной стене (рис. 4.14). Шарик выводят из положения равновесия, растягивая пружину на величину $\Delta l$, и отпускают. Если пружину заменить другой, с жёсткостью $\text{2k}$, то как изменится:

а) амплитуда колебаний;

б) амплитуда скорости;

в) амплитуда ускорения?

Рис. 4.14

Решение.

Дано:

Масса шарика: $\text{m}$

Начальная жёсткость пружины: $k_1 = k$

Конечная жёсткость пружины: $k_2 = 2k$

Начальное смещение: $\Delta l$

Найти:

Как изменится амплитуда колебаний ($A_2/A_1$)

Как изменится амплитуда скорости ($v_{max2}/v_{max1}$)

Как изменится амплитуда ускорения ($a_{max2}/a_{max1}$)

Решение:

Рассмотрим два случая: с пружиной жёсткостью $k_1 = k$ (первый случай) и с пружиной жёсткостью $k_2 = 2k$ (второй случай). В обоих случаях шарик смещают из положения равновесия на одно и то же расстояние $\Delta l$ и отпускают без начальной скорости.

а) амплитуда колебаний

Амплитуда колебаний ($\text{A}$) — это максимальное отклонение тела от положения равновесия. Так как шарик отпускают из состояния покоя с начальным смещением $\Delta l$, это смещение и является амплитудой колебаний. Условие начального смещения одинаково для обеих пружин.

В первом случае: $A_1 = \Delta l$.

Во втором случае: $A_2 = \Delta l$.

Следовательно, $A_2/A_1 = 1$.

Ответ: амплитуда колебаний не изменится.

б) амплитуда скорости

Амплитуда скорости ($v_{max}$) достигается в момент прохождения шариком положения равновесия. Согласно закону сохранения энергии, максимальная потенциальная энергия пружины равна максимальной кинетической энергии шарика:

$\frac{k A^2}{2} = \frac{m v_{max}^2}{2}$

Отсюда амплитуда скорости равна:

$v_{max} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$

Для первого случая:

$v_{max1} = A_1 \sqrt{\frac{k_1}{m}} = \Delta l \sqrt{\frac{k}{m}}$

Для второго случая:

$v_{max2} = A_2 \sqrt{\frac{k_2}{m}} = \Delta l \sqrt{\frac{2k}{m}}$

Найдем отношение амплитуд скоростей:

$\frac{v_{max2}}{v_{max1}} = \frac{\Delta l \sqrt{\frac{2k}{m}}}{\Delta l \sqrt{\frac{k}{m}}} = \sqrt{2}$

Ответ: амплитуда скорости увеличится в $\sqrt{2}$ раз.

в) амплитуда ускорения

Согласно второму закону Ньютона, $F = ma$. Возвращающая сила упругости пружины равна $F = -kx$. Таким образом, ускорение шарика $a = -\frac{k}{m}x$.

Максимальное по модулю ускорение (амплитуда ускорения $a_{max}$) достигается при максимальном смещении, то есть когда $x = A$.

$a_{max} = \frac{k A}{m}$

Для первого случая:

$a_{max1} = \frac{k_1 A_1}{m} = \frac{k \Delta l}{m}$

Для второго случая:

$a_{max2} = \frac{k_2 A_2}{m} = \frac{2k \Delta l}{m}$

Найдем отношение амплитуд ускорений:

$\frac{a_{max2}}{a_{max1}} = \frac{\frac{2k \Delta l}{m}}{\frac{k \Delta l}{m}} = 2$

Ответ: амплитуда ускорения увеличится в 2 раза.