Номер 4.46, страница 91 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.46, страница 91.

Условие.

4.46. Получите выражение для периода колебаний вертикального пружинного маятника, т. е. груза массой m, подвешенного к пружине жёсткостью k (рис. 4.13).

Рис. 4.13

Решение.

Дано:

Вертикальный пружинный маятник, состоящий из груза массой $\text{m}$ и пружины жёсткостью $\text{k}$.

Найти:

Выражение для периода колебаний $\text{T}$.

Решение:

1. Рассмотрим положение равновесия груза на пружине. В этом положении сила тяжести, действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины. Пусть в положении равновесия пружина растянута на величину $\Delta l_0$.

Согласно второму закону Ньютона для положения равновесия (проекция на вертикальную ось, направленную вниз):

$mg - F_{упр0} = 0$

По закону Гука, сила упругости $F_{упр0} = k\Delta l_0$. Тогда:

$mg = k\Delta l_0$ (1)

2. Теперь сместим груз из положения равновесия на расстояние $\text{x}$ вниз. Общее удлинение пружины составит $\Delta l = \Delta l_0 + x$.

Сила упругости, действующая на груз, будет равна $F_{упр} = k(\Delta l_0 + x)$.

Равнодействующая сила $F_{равн}$, действующая на груз, будет направлена к положению равновесия:

$F_{равн} = mg - F_{упр} = mg - k(\Delta l_0 + x)$

Подставим в это уравнение выражение (1) для $\text{mg}$:

$F_{равн} = k\Delta l_0 - k(\Delta l_0 + x) = k\Delta l_0 - k\Delta l_0 - kx = -kx$

Эта сила является возвращающей силой, так как её знак противоположен знаку смещения $\text{x}$.

3. Согласно второму закону Ньютона, $F_{равн} = ma$, где $\text{a}$ – ускорение груза. Ускорение является второй производной от смещения по времени: $a = \frac{d^2x}{dt^2}$.

Получаем дифференциальное уравнение движения:

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$

Разделив на $\text{m}$, получим:

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$

4. Это уравнение является стандартным уравнением гармонических колебаний вида $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0$, где $\omega$ – циклическая (угловая) частота колебаний.

Сравнивая два уравнения, находим, что квадрат циклической частоты равен:

$\omega^2 = \frac{k}{m}$

Отсюда циклическая частота:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

5. Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой $\omega$ соотношением:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Подставляя выражение для $\omega$, получаем формулу для периода колебаний вертикального пружинного маятника:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$