Номер 4.41, страница 90 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.41, страница 90.

Условие.

4.41. Потенциальная энергия маятника массой 0,2 кг изменяется с течением времени так, как показано на графике (рис. 4.8). Определите:

а) период колебаний;

б) амплитуду колебаний;

в) кинетическую энергию маятника в момент времени $t_1 = 0,25 \text{ с}$.

Рис. 4.8

Решение.

Дано:

Масса маятника: $m = 0,2$ кг
График зависимости потенциальной энергии от времени $E_p(t)$
Момент времени: $t_1 = 0,25$ с

Найти:

а) $\text{T}$ - период колебаний
б) $\text{A}$ - амплитуду колебаний
в) $E_k(t_1)$ - кинетическую энергию маятника в момент времени $t_1$

Решение:

а) период колебаний

Потенциальная энергия гармонического осциллятора $E_p$ изменяется с удвоенной частотой по сравнению с частотой колебаний самого маятника. Следовательно, период колебаний потенциальной энергии $T_E$ в два раза меньше периода колебаний маятника $\text{T}$.

Из графика видно, что потенциальная энергия достигает своего максимального значения в моменты времени $t=0$ с, $t=0,1$ с, $t=0,2$ с и так далее. Период колебаний потенциальной энергии $T_E$ — это время между двумя последовательными максимумами.

$T_E = 0,1 \text{ с} - 0 \text{ с} = 0,1$ с.

Период колебаний маятника $\text{T}$ в два раза больше периода колебаний энергии:

$T = 2 T_E = 2 \cdot 0,1 \text{ с} = 0,2$ с.

Ответ: $0,2$ с.

б) амплитуду колебаний

Максимальное значение потенциальной энергии пружинного маятника определяется по формуле:

$E_{p,max} = \frac{k A^2}{2}$, где $\text{k}$ – жесткость пружины, $\text{A}$ – амплитуда колебаний.

Из графика находим максимальное значение потенциальной энергии: $E_{p,max} = 40$ Дж.

Жесткость пружины $\text{k}$ можно найти из формулы периода колебаний пружинного маятника:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Выразим отсюда жесткость $\text{k}$:

$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} \implies k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$

Подставим числовые значения:

$k = \frac{4\pi^2 \cdot 0,2 \text{ кг}}{(0,2 \text{ с})^2} = \frac{0,8\pi^2}{0,04} = 20\pi^2$ Н/м.

Теперь найдем амплитуду $\text{A}$ из формулы для максимальной потенциальной энергии:

$A^2 = \frac{2 E_{p,max}}{k} = \frac{2 \cdot 40 \text{ Дж}}{20\pi^2 \text{ Н/м}} = \frac{80}{20\pi^2} = \frac{4}{\pi^2}$ м$^2$.

$A = \sqrt{\frac{4}{\pi^2}} = \frac{2}{\pi}$ м.

Вычислим приближенное значение: $A \approx \frac{2}{3,14} \approx 0,64$ м.

Ответ: $\frac{2}{\pi}$ м (приблизительно $0,64$ м).

в) кинетическую энергию маятника в момент времени t₁ = 0,25 с

Полная механическая энергия маятника $\text{E}$ сохраняется (при отсутствии трения) и равна максимальному значению потенциальной энергии:

$E = E_{p,max} = 40$ Дж.

Согласно закону сохранения энергии, в любой момент времени сумма кинетической и потенциальной энергий равна полной энергии:

$E = E_k(t) + E_p(t)$

Следовательно, кинетическая энергия в момент времени $t_1$ равна:

$E_k(t_1) = E - E_p(t_1)$

Найдем значение потенциальной энергии $E_p$ в момент времени $t_1 = 0,25$ с по графику.

Период колебаний потенциальной энергии $T_E = 0,1$ с. Момент времени $t_1 = 0,25$ с соответствует моменту времени $t = 0,05$ с на первом периоде ($0,25 = 2 \cdot 0,1 + 0,05$).

Из графика видно, что в момент времени $t = 0,05$ с (середина между максимумами в $t=0$ и $t=0,1$ с) потенциальная энергия достигает своего минимального значения, которое равно нулю.

$E_p(0,25 \text{ с}) = 0$ Дж.

Тогда кинетическая энергия в этот момент времени будет максимальной:

$E_k(0,25 \text{ с}) = E - E_p(0,25 \text{ с}) = 40 \text{ Дж} - 0 \text{ Дж} = 40$ Дж.

Ответ: $\text{40}$ Дж.