Номер 4.38, страница 90 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.38, страница 90.

Условие.

4.38. Максимальная кинетическая энергия материальной точки массой 10 г, совершающей гармонические колебания с периодом 2 с, равна $1 \cdot 10^{-4}$ Дж. Определите амплитуду колебаний.

Решение.

Дано:

$m = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

$T = 2 \text{ с}$

$E_{k,max} = 1 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Найти:

$\text{A}$

Решение:

Максимальная кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, достигается в момент прохождения положения равновесия, когда скорость точки максимальна. Она вычисляется по формуле:

$E_{k,max} = \frac{m v_{max}^2}{2}$

где $\text{m}$ — масса точки, а $v_{max}$ — максимальная скорость.

Максимальная скорость при гармонических колебаниях связана с амплитудой $\text{A}$ и циклической (угловой) частотой $\omega$ следующим соотношением:

$v_{max} = A \cdot \omega$

Подставив это выражение в формулу для кинетической энергии, получим:

$E_{k,max} = \frac{m (A \omega)^2}{2} = \frac{m A^2 \omega^2}{2}$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $\text{T}$ по формуле:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Теперь подставим выражение для циклической частоты в формулу для максимальной кинетической энергии:

$E_{k,max} = \frac{m A^2}{2} \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{m A^2 \cdot 4\pi^2}{2 T^2} = \frac{2\pi^2 m A^2}{T^2}$

Из полученной формулы выразим амплитуду колебаний $\text{A}$:

$A^2 = \frac{E_{k,max} T^2}{2\pi^2 m}$

$A = \sqrt{\frac{E_{k,max} T^2}{2\pi^2 m}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$A = \sqrt{\frac{1 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} \cdot (2 \text{ с})^2}{2\pi^2 \cdot 0.01 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 10^{-4} \cdot 4}{0.02 \pi^2}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10^{-4}}{2 \cdot 10^{-2} \pi^2}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-2}}{\pi^2}}$

$A = \frac{\sqrt{2} \cdot 10^{-1}}{\pi} \text{ м} \approx \frac{1.414 \cdot 0.1}{3.1416} \text{ м} \approx 0.045 \text{ м}$

Переводя в сантиметры, получаем $0.045 \text{ м} = 4.5 \text{ см}$.

Ответ: $A \approx 0.045 \text{ м}$ (или $4.5 \text{ см}$).