Номер 4.44, страница 91 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.44, страница 91.

Условие.

4.44**. В стоящем на столе ящике массой $\text{M}$ находится пружинный маятник, состоящий из лёгкой пружины жёсткостью $\text{k}$ и груза массой $\text{m}$ (рис. 4.11). При какой наименьшей амплитуде колебаний груза ящик начнёт отрываться от поверхности стола?

Рис. 4.11

Решение.

Дано:

Масса ящика: $\text{M}$

Масса груза: $\text{m}$

Жёсткость пружины: $\text{k}$

Найти:

Наименьшую амплитуду колебаний груза $A_{min}$, при которой ящик начнёт отрываться от стола.

Решение:

Ящик начнёт отрываться от поверхности стола в тот момент, когда сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, действующая на ящик со стороны стола, станет равной нулю.

Рассмотрим силы, действующие на ящик в вертикальном направлении:

1. Сила тяжести ящика $\text{Mg}$, направленная вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная вверх.
3. Сила натяжения пружины $\text{T}$, действующая на потолок ящика и направленная вниз.

Пока ящик находится на столе, его ускорение равно нулю. Запишем второй закон Ньютона для ящика в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N - Mg - T = 0$

Отсюда сила нормальной реакции:

$N = Mg + T$

Условие отрыва ящика от стола $N=0$. Это означает, что $Mg + T = 0$, что невозможно, так как сила тяжести $Mg > 0$ и сила натяжения пружины $T > 0$ (пружина растянута). В этом рассуждении допущена ошибка. Сила $\text{T}$ не всегда положительна в том смысле, что пружина не всегда растянута. Давайте внимательно проанализируем силу натяжения $\text{T}$.

Груз массой $\text{m}$ совершает гармонические колебания около положения равновесия. В положении равновесия пружина растянута на величину $\Delta l_0$, и сила упругости уравновешивает силу тяжести груза:

$k \Delta l_0 = mg$

Пусть $\text{y}$ – смещение груза от положения равновесия, причём положительное направление оси $\text{y}$ выбрано вверх. Тогда растяжение пружины в произвольный момент времени равно $\Delta l = \Delta l_0 - y$.

Сила натяжения пружины $\text{T}$ равна:

$T = k \cdot \Delta l = k(\Delta l_0 - y) = k\Delta l_0 - ky = mg - ky$

Подставим это выражение для $\text{T}$ в формулу для силы нормальной реакции:

$N = Mg + T = Mg + (mg - ky) = (M+m)g - ky$

Ящик начнёт отрываться от стола, когда $N \le 0$. Сила нормальной реакции $\text{N}$ будет минимальной, когда слагаемое $\text{ky}$ будет максимальным. Это происходит при максимальном смещении груза вверх, то есть когда $y = A$, где $\text{A}$ – амплитуда колебаний.

Таким образом, минимальное значение силы нормальной реакции равно:

$N_{min} = (M+m)g - kA$

При наименьшей амплитуде $A_{min}$, при которой ящик начинает отрываться, $N_{min}$ становится равной нулю:

$(M+m)g - kA_{min} = 0$

Отсюда находим искомую амплитуду:

$kA_{min} = (M+m)g$

$A_{min} = \frac{(M+m)g}{k}$

Ответ:

Наименьшая амплитуда колебаний груза, при которой ящик начнёт отрываться от поверхности стола, равна $A_{min} = \frac{(M+m)g}{k}$.