Номер 4.43, страница 91 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.43, страница 91.

Условие.

4.43. Груз связан с пружиной посредством лёгкой нити AB (рис. 4.10). Определите:

a) может ли этот груз совершать вертикальные гармонические колебания с амплитудой 2 см и частотой 5 Гц;

б) наибольшую амплитуду колебаний в этой системе, при которой колебания будут оставаться гармоническими.

Рис. 4.10

Решение.

Дано:

Амплитуда для проверки в пункте а), $A_1 = 2 \text{ см}$
Частота колебаний, $f = 5 \text{ Гц}$

Перевод в систему СИ:
$A_1 = 0.02 \text{ м}$

Найти:

а) может ли груз совершать гармонические колебания с заданными параметрами;
б) $A_{max}$ — наибольшую амплитуду, при которой колебания остаются гармоническими.

Решение:

Колебания груза, подвешенного на пружине через нить, будут гармоническими только в том случае, если нить на протяжении всего движения остается натянутой. Если нить провиснет, связь груза с пружиной нарушится, и движение перестанет описываться законом гармонических колебаний.

Рассмотрим силы, действующие на груз. Направим ось $\text{y}$ вертикально вверх, а начало отсчета поместим в положение равновесия груза. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось $\text{y}$ имеет вид:

$ma_y = T - mg$

где $\text{m}$ — масса груза, $a_y$ — его ускорение, $\text{T}$ — сила натяжения нити, $\text{g}$ — ускорение свободного падения ($g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$).

Для гармонических колебаний ускорение тела связано с его смещением $\text{y}$ из положения равновесия соотношением:

$a_y = -\omega^2 y$

где $\omega = 2\pi f$ — циклическая частота.

Выразим силу натяжения нити, подставив выражение для ускорения в закон Ньютона:

$T = mg + ma_y = mg - m\omega^2 y$

Нить остается натянутой, если $T \ge 0$. Проанализируем это условие. Сила натяжения $\text{T}$ будет минимальной, когда слагаемое $m\omega^2 y$ максимально. Это происходит в верхней точке траектории, где смещение максимально и равно амплитуде, $y = A$.

$T_{min} = mg - m\omega^2 A$

Следовательно, условие сохранения гармонических колебаний ($T_{min} \ge 0$) выглядит так:

$mg - m\omega^2 A \ge 0 \implies g \ge \omega^2 A$

Отсюда максимальная амплитуда, при которой колебания еще остаются гармоническими, равна:

$A_{max} = \frac{g}{\omega^2} = \frac{g}{(2\pi f)^2}$

а) Проверим, могут ли совершаться колебания с амплитудой $A_1 = 2 \text{ см}$ и частотой $f = 5 \text{ Гц}$. Для этого сравним заданную амплитуду с максимально возможной для данной частоты.

$A_{max} = \frac{9.8 \text{ м/с}^2}{(2\pi \cdot 5 \text{ Гц})^2} = \frac{9.8}{(10\pi)^2} = \frac{9.8}{100\pi^2} \text{ м}$

Используя приближенное значение $\pi^2 \approx 9.87$, получаем:

$A_{max} \approx \frac{9.8}{100 \cdot 9.87} \approx 0.00993 \text{ м} \approx 0.99 \text{ см}$

Заданная в условии амплитуда $A_1 = 2 \text{ см}$. Поскольку $A_1 > A_{max}$ ($2 \text{ см} > 0.99 \text{ см}$), нить в верхней точке траектории будет провисать, и колебания не будут гармоническими.

Ответ: нет, не может.

б) Наибольшая амплитуда колебаний в этой системе, при которой они будут оставаться гармоническими, это и есть найденное нами значение $A_{max}$. Под "этой системой" подразумевается система, собственная частота колебаний которой составляет 5 Гц.

$A_{max} = \frac{g}{(2\pi f)^2} \approx 0.99 \text{ см}$

Ответ: наибольшая амплитуда составляет примерно $0.99 \text{ см}$.