Номер 4.34, страница 90 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.34, страница 90.

Условие.

4.34. За какое время тело, совершающее гармонические колебания по закону $x = x_m \sin \omega t$, проходит:

а) всю траекторию;

б) первую половину траектории;

в) вторую половину траектории?

Решение.

Дано:

Закон гармонических колебаний тела: $x = x_m \sin(\omega t)$.

Здесь $\text{x}$ - смещение от положения равновесия, $x_m$ - амплитуда, $\omega$ - циклическая частота, $\text{t}$ - время.

Найти:

Время, за которое тело проходит:

а) всю траекторию;

б) первую половину траектории;

в) вторую половину траектории.

Решение:

Закон движения тела $x(t) = x_m \sin(\omega t)$ означает, что в начальный момент времени $t=0$ тело находится в положении равновесия ($x=0$) и начинает движение в сторону положительных значений $\text{x}$. Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой соотношением $T = 2\pi / \omega$.

В контексте данной задачи будем трактовать понятие "траектория" как путь тела от положения равновесия ($x=0$) до точки максимального отклонения ($x=x_m$). Такая интерпретация делает задачу целостной, так как время прохождения всей этой траектории (пункт а) оказывается равным сумме времен прохождения ее первой (пункт б) и второй (пункт в) половин, разделенных по длине.

а) всю траекторию

Требуется найти время $t_a$, за которое тело пройдет путь от $x=0$ до $x=x_m$. Подставим координаты начальной и конечной точек в уравнение движения. Начальный момент $t=0$, $x(0)=0$. Найдем момент времени $t_a$, когда $x(t_a)=x_m$.

$x_m = x_m \sin(\omega t_a)$

$\sin(\omega t_a) = 1$

Наименьшее положительное значение фазы $\omega t_a$, удовлетворяющее этому условию, равно $\pi/2$.

$\omega t_a = \frac{\pi}{2}$

Отсюда выразим время $t_a$ через циклическую частоту и период $\text{T}$:

$t_a = \frac{\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{2(2\pi/T)} = \frac{T}{4}$

Ответ: $T/4$.

б) первую половину траектории

Первая половина траектории (пути от $x=0$ до $x=x_m$) — это участок от $x=0$ до $x = x_m/2$. Найдем время $t_b$, за которое тело пройдет этот путь.

Подставим конечное положение в уравнение движения:

$\frac{x_m}{2} = x_m \sin(\omega t_b)$

$\sin(\omega t_b) = \frac{1}{2}$

Наименьшее положительное значение фазы, удовлетворяющее этому условию, равно $\pi/6$.

$\omega t_b = \frac{\pi}{6}$

Отсюда находим время $t_b$:

$t_b = \frac{\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{6(2\pi/T)} = \frac{T}{12}$

Ответ: $T/12$.

в) вторую половину траектории

Вторая половина траектории — это участок от $x = x_m/2$ до $x = x_m$. Время $t_c$, затраченное на прохождение этого участка, можно найти как разность времени прохождения всей траектории от $\text{0}$ до $x_m$ ($t_a$) и времени прохождения ее первой половины ($t_b$).

$t_c = t_a - t_b$

$t_c = \frac{T}{4} - \frac{T}{12} = \frac{3T}{12} - \frac{T}{12} = \frac{2T}{12} = \frac{T}{6}$

Сравнение времен $t_b = T/12$ и $t_c = T/6$ показывает, что на прохождение второй половины пути тело затрачивает вдвое больше времени, чем на прохождение первой. Это связано с тем, что скорость тела при гармонических колебаниях максимальна в положении равновесия и уменьшается до нуля при приближении к амплитудному значению.

Ответ: $T/6$.