Номер 4.60, страница 93 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.60, страница 93.

Условие.

4.60. Груз массой 100 г совершает колебания на пружине жёсткостью 10 Н/м. Как нужно изменить массу системы, чтобы период колебаний:

а) уменьшился в 2 раза;

б) увеличился в 1,5 раза?

Решение.

Дано:

$m_1 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$k = 10 \text{ Н/м}$

а) $T_2 = T_1 / 2$

б) $T_3 = 1.5 \cdot T_1$

Найти:

Как нужно изменить массу системы в случаях а) и б)?

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{T}$ — период колебаний, $\text{m}$ — масса груза, $\text{k}$ — жёсткость пружины.

Из этой формулы видно, что период колебаний $\text{T}$ пропорционален квадратному корню из массы груза $\sqrt{m}$. Это можно записать как $T \sim \sqrt{m}$.

Тогда масса пропорциональна квадрату периода: $m \sim T^2$. Это означает, что если мы хотим изменить период в $\text{n}$ раз, то массу необходимо изменить в $n^2$ раз.

а)

Требуется, чтобы период уменьшился в 2 раза, то есть $T_2 = \frac{T_1}{2}$.

Составим отношение периодов для начальной массы $m_1$ и новой массы $m_2$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{m_2/k}}{2\pi\sqrt{m_1/k}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Подставим известное соотношение периодов $\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти отношение масс:

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{m_2}{m_1}$

$\frac{1}{4} = \frac{m_2}{m_1} \Rightarrow m_2 = \frac{m_1}{4}$

Массу нужно уменьшить в 4 раза. Найдем новое значение массы:

$m_2 = \frac{0.1 \text{ кг}}{4} = 0.025 \text{ кг} = 25 \text{ г}$.

Ответ: Массу нужно уменьшить в 4 раза (до 25 г).

б)

Требуется, чтобы период увеличился в 1,5 раза, то есть $T_3 = 1.5 \cdot T_1$.

Составим отношение периодов для начальной массы $m_1$ и новой массы $m_3$:

$\frac{T_3}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{m_3/k}}{2\pi\sqrt{m_1/k}} = \sqrt{\frac{m_3}{m_1}}$

Подставим известное соотношение периодов $\frac{T_3}{T_1} = 1.5$:

$1.5 = \sqrt{\frac{m_3}{m_1}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти отношение масс:

$(1.5)^2 = \frac{m_3}{m_1}$

$2.25 = \frac{m_3}{m_1} \Rightarrow m_3 = 2.25 \cdot m_1$

Массу нужно увеличить в 2,25 раза. Найдем новое значение массы:

$m_3 = 2.25 \cdot 0.1 \text{ кг} = 0.225 \text{ кг} = 225 \text{ г}$.

Ответ: Массу нужно увеличить в 2,25 раза (до 225 г).