Номер 4.65, страница 94 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.65, страница 94.

Условие.

4.65*. Груз массой $\text{m}$ совершает колебания на пружине жёсткостью $\text{k}$ с периодом $\text{T}$. С каким периодом будут происходить колебания в системе, изображённой на рисунке 4.17? В положении равновесия пружины не деформированы.

Рис. 4.17

Решение.

По условию, груз массой $\text{m}$ на пружине жесткостью $\text{k}$ совершает колебания с периодом $\text{T}$. Формула периода для пружинного маятника: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.

Во всех трех случаях (а, б, в) пружины соединены параллельно, так как они закреплены с разных сторон от груза. При смещении груза на расстояние $\text{x}$ от положения равновесия, одна пружина сжимается на $\text{x}$, а другая растягивается на $\text{x}$. Обе пружины создают возвращающую силу, направленную к положению равновесия. Таким образом, суммарная возвращающая сила равна сумме сил, создаваемых каждой пружиной.

При параллельном соединении пружин их эффективная (общая) жесткость $k_{эфф}$ равна сумме жесткостей отдельных пружин: $k_{эфф} = k_1 + k_2$.

Период колебаний для каждой из систем будет находиться по формуле $T_{новая} = 2\pi \sqrt{\frac{m_{новая}}{k_{эфф}}}$.

а

Дано:

Масса груза: $m_a = 2m$

Жесткости пружин: $k_1 = 2k$, $k_2 = k$

Исходный период: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Найти:

Период колебаний $T_a$

Решение:

Найдем эффективную жесткость системы: $k_{эфф, a} = k_1 + k_2 = 2k + k = 3k$.

Теперь найдем период колебаний для системы а, используя массу $m_a = 2m$ и эффективную жесткость $k_{эфф, a}$: $T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m_a}{k_{эфф, a}}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{3k}}$.

Выразим полученное значение через исходный период $\text{T}$: $T_a = \sqrt{\frac{2}{3}} \left( 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \right) = T\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $T_a = T\sqrt{\frac{2}{3}}$.

б

Дано:

Масса груза: $m_б = \frac{m}{2}$

Жесткости пружин: $k_1 = \frac{k}{2}$, $k_2 = 2k$

Исходный период: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Найти:

Период колебаний $T_б$

Решение:

Найдем эффективную жесткость системы: $k_{эфф, б} = k_1 + k_2 = \frac{k}{2} + 2k = \frac{k + 4k}{2} = \frac{5k}{2}$.

Теперь найдем период колебаний для системы б, используя массу $m_б = \frac{m}{2}$ и эффективную жесткость $k_{эфф, б}$: $T_б = 2\pi \sqrt{\frac{m_б}{k_{эфф, б}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m/2}{5k/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2} \cdot \frac{2}{5k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{5k}}$.

Выразим полученное значение через исходный период $\text{T}$: $T_б = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \right) = \frac{T}{\sqrt{5}}$.

Ответ: $T_б = \frac{T}{\sqrt{5}}$.

в

Дано:

Масса груза: $m_в = m$

Жесткости пружин: $k_1 = \frac{k}{2}$, $k_2 = k$

Исходный период: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Найти:

Период колебаний $T_в$

Решение:

Найдем эффективную жесткость системы: $k_{эфф, в} = k_1 + k_2 = \frac{k}{2} + k = \frac{k + 2k}{2} = \frac{3k}{2}$.

Теперь найдем период колебаний для системы в, используя массу $m_в = m$ и эффективную жесткость $k_{эфф, в}$: $T_в = 2\pi \sqrt{\frac{m_в}{k_{эфф, в}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{3k/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{3k}}$.

Выразим полученное значение через исходный период $\text{T}$: $T_в = \sqrt{\frac{2}{3}} \left( 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \right) = T\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $T_в = T\sqrt{\frac{2}{3}}$.