Номер 4.87, страница 96 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Математический маятник - номер 4.87, страница 96.

Условие.

4.87. Координата математического маятника изменяется с течением времени так, как показано на графике (рис. 4.20). Найдите:

а) амплитуду и частоту колебаний;

б) длину маятника.

Рис. 4.20

Решение.

Поскольку на рисунке 4.20 представлены два разных графика (а и б), которые описывают разные колебательные процессы, решим задачу для каждого случая отдельно.

Анализ графика а

Дано:

Из графика (а) можно определить:

Амплитуда $A_a = 8$ см (исходя из того, что отметка «5» на оси ординат соответствует 2.5 делениям, а пик графика находится на высоте 4 делений, т.е. $A_a = (4/2.5) \cdot 5 = 8$ см)

Период $T_a = 8$ с (половина периода колебания занимает 4 с, следовательно, полный период $T_a = 2 \cdot 4 = 8$ с)

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

$A_a = 0.08$ м

Найти:

а) амплитуду $A_a$ и частоту $f_a$ колебаний;

б) длину маятника $L_a$.

Решение:

а) амплитуду и частоту колебаний

Амплитуда колебаний — это максимальное отклонение от положения равновесия. Как было определено при анализе графика, $A_a = 8$ см.

Частота колебаний $f_a$ — это величина, обратная периоду колебаний $T_a$. Период, определенный по графику, равен $T_a = 8$ с.

Найдем частоту:

$f_a = \frac{1}{T_a} = \frac{1}{8 \text{ с}} = 0.125 \text{ Гц}$

Ответ: Амплитуда колебаний $A_a = 8$ см, частота колебаний $f_a = 0.125$ Гц.

б) длину маятника

Период колебаний математического маятника связан с его длиной $\text{L}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$ формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

Чтобы найти длину маятника $L_a$, выразим ее из формулы. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$T_a^2 = 4\pi^2 \frac{L_a}{g}$

Отсюда длина маятника:

$L_a = \frac{g T_a^2}{4\pi^2}$

Подставим числовые значения:

$L_a = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (8 \text{ с})^2}{4\pi^2} \approx \frac{9.8 \cdot 64}{4 \cdot 9.87} \approx \frac{627.2}{39.48} \approx 15.9 \text{ м}$

Ответ: Длина маятника $L_a \approx 15.9$ м.

Анализ графика б

Дано:

Из графика (б) можно определить:

Амплитуда $A_б = 5$ см (максимальное значение координаты $\text{x}$)

Период $T_б = 2$ с (время одного полного колебания, например, от $t=0$ до $t=2$ с)

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

$A_б = 0.05$ м

Найти:

а) амплитуду $A_б$ и частоту $f_б$ колебаний;

б) длину маятника $L_б$.

Решение:

а) амплитуду и частоту колебаний

Амплитуда колебаний, согласно графику, составляет $A_б = 5$ см.

Период колебаний, определенный по графику, равен $T_б = 2$ с.

Найдем частоту:

$f_б = \frac{1}{T_б} = \frac{1}{2 \text{ с}} = 0.5 \text{ Гц}$

Ответ: Амплитуда колебаний $A_б = 5$ см, частота колебаний $f_б = 0.5$ Гц.

б) длину маятника

Используем ту же формулу для длины маятника, что и в предыдущем случае:

$L_б = \frac{g T_б^2}{4\pi^2}$

Подставим числовые значения:

$L_б = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (2 \text{ с})^2}{4\pi^2} = \frac{9.8 \cdot 4}{4\pi^2} = \frac{9.8}{\pi^2} \approx \frac{9.8}{9.87} \approx 0.993 \text{ м}$

Ответ: Длина маятника $L_б \approx 0.99$ м.