Номер 4.93, страница 97 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Математический маятник - номер 4.93, страница 97.

Условие.

4.93*. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а её диаметр в 4 раза меньше диаметра Земли. Определите период колебаний математического маятника длиной 1 м на поверхности Луны.

Решение.

Дано:

$M_З = 81 \cdot M_Л$

$D_З = 4 \cdot D_Л$ (следовательно, радиус $R_З = 4 \cdot R_Л$)

$l = 1$ м

Примем ускорение свободного падения на Земле $g_З \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$T_Л$ — период колебаний маятника на Луне.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ — длина маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Для определения периода колебаний маятника на Луне ($T_Л$) необходимо найти ускорение свободного падения на её поверхности ($g_Л$).

Ускорение свободного падения на поверхности небесного тела вычисляется по закону всемирного тяготения:

$g = G\frac{M}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса тела, $\text{R}$ — его радиус.

Запишем выражения для ускорения свободного падения на Земле и на Луне:

$g_З = G\frac{M_З}{R_З^2}$

$g_Л = G\frac{M_Л}{R_Л^2}$

Из условий задачи известны соотношения масс и радиусов:

$M_Л = \frac{M_З}{81}$

$R_Л = \frac{R_З}{4}$

Подставим эти соотношения в формулу для $g_Л$:

$g_Л = G\frac{M_З/81}{(R_З/4)^2} = G\frac{M_З/81}{R_З^2/16} = \frac{16}{81} \cdot G\frac{M_З}{R_З^2}$

Поскольку $g_З = G\frac{M_З}{R_З^2}$, мы можем выразить $g_Л$ через $g_З$:

$g_Л = \frac{16}{81} g_З$

Теперь вычислим численное значение $g_Л$, используя $g_З \approx 9.8$ м/с²:

$g_Л = \frac{16}{81} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \approx 0.1975 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \approx 1.936 \text{ м/с}^2$

Теперь, зная $g_Л$ и длину маятника $l = 1$ м, можем рассчитать период его колебаний на Луне:

$T_Л = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_Л}} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{1 \text{ м}}{1.936 \text{ м/с}^2}} \approx 6.28 \cdot \sqrt{0.5165} \text{ с} \approx 6.28 \cdot 0.7187 \text{ с} \approx 4.51 \text{ с}$

Ответ: период колебаний маятника на поверхности Луны составляет примерно 4.51 с.