Номер 4.99, страница 98 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.99, страница 98.

Условие.

4.99*. Шарик массой $\text{m}$ совершает гармонические колебания на пружине жёсткостью $\text{k}$ в горизонтальном направлении с амплитудой $\text{A}$ (рис. 4.22). На расстоянии $A/2$ от положения равновесия установили массивную стальную плиту, от которой шарик абсолютно упруго отскакивает. Найдите период колебаний шарика в этом случае. Временем соударения и силами трения пренебречь.

Рис. 4.22

Решение.

Дано:

Масса шарика: $\text{m}$

Жёсткость пружины: $\text{k}$

Амплитуда колебаний (без плиты): $\text{A}$

Положение плиты от положения равновесия: $x_{плиты} = A/2$

Найти:

Период колебаний шарика $\text{T}$.

Решение:

Колебания шарика в данной системе являются периодическими, но не являются гармоническими из-за абсолютно упругого удара о плиту. Период таких колебаний будет состоять из времени движения шарика от одного крайнего положения до другого и обратно.

Если бы плиты не было, шарик совершал бы гармонические колебания с периодом $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ и циклической частотой $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$. Положение равновесия примем за координату $x=0$. Тогда крайние положения были бы $x=-A$ и $x=A$.

В присутствии плиты шарик колеблется между положением максимального сжатия пружины $x=-A$ и положением плиты $x=A/2$.

Полный период $\text{T}$ нового движения складывается из времени движения от $x=-A$ до $x=A/2$ (обозначим $t_1$) и времени движения от $x=A/2$ обратно до $x=-A$ (обозначим $t_2$). Так как удар абсолютно упругий (мгновенно меняет направление скорости на противоположное, сохраняя её модуль), а сила упругости симметрична относительно положения равновесия, то время движения туда и обратно по одному и тому же участку одинаково, то есть $t_2 = t_1$. Таким образом, полный период равен $T = t_1 + t_2 = 2t_1$.

Рассчитаем время $t_1$ – время движения от $x=-A$ до $x=A/2$. Это движение является частью гармонического колебания. Разобьем этот путь на два участка:

1. Движение от крайнего положения $x=-A$ до положения равновесия $x=0$. Это движение всегда занимает четверть полного периода гармонических колебаний $T_0$:

$t_{(-A \to 0)} = \frac{T_0}{4}$

2. Движение от положения равновесия $x=0$ до положения плиты $x=A/2$. Уравнение гармонических колебаний, если в момент времени $t=0$ шарик находится в положении равновесия ($x=0$) и движется в положительном направлении, имеет вид: $x(t) = A\sin(\omega t)$.

Найдем время $t_{(0 \to A/2)}$, за которое шарик достигнет координаты $x=A/2$:

$\frac{A}{2} = A\sin(\omega t_{(0 \to A/2)})$

$\sin(\omega t_{(0 \to A/2)}) = \frac{1}{2}$

Отсюда наименьшее положительное значение аргумента синуса равно $\omega t_{(0 \to A/2)} = \frac{\pi}{6}$.

Так как циклическая частота $\omega = \frac{2\pi}{T_0}$, получаем:

$\frac{2\pi}{T_0} t_{(0 \to A/2)} = \frac{\pi}{6} \implies t_{(0 \to A/2)} = \frac{T_0}{12}$

Теперь найдем общее время движения в одну сторону $t_1$ как сумму времени движения по двум участкам:

$t_1 = t_{(-A \to 0)} + t_{(0 \to A/2)} = \frac{T_0}{4} + \frac{T_0}{12} = \frac{3T_0}{12} + \frac{T_0}{12} = \frac{4T_0}{12} = \frac{T_0}{3}$

Полный период колебаний с плитой $\text{T}$ равен времени движения туда и обратно:

$T = 2t_1 = 2 \cdot \frac{T_0}{3} = \frac{2}{3}T_0$

Подставляя выражение для $T_0$, получаем окончательный ответ:

$T = \frac{2}{3} \left( 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \right) = \frac{4\pi}{3}\sqrt{\frac{m}{k}}$

Ответ: $T = \frac{4\pi}{3}\sqrt{\frac{m}{k}}$