Номер 4.104, страница 99 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.104, страница 99.

Условие.

4.104**. Маленький шарик катается без проскальзывания по поверхности вогнутого сферического зеркала, совершая малые колебания (см. рис. 4.26). Найдите:

а) радиус кривизны зеркала, если шарик за 12 с совершил 15 колебаний;

б) ошибку определения радиуса кривизны этого зеркала, если считать движение шарика поступательным.

Рис. 4.26

Решение.

Дано:

$t = 12 \text{ с}$

$N = 15$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

а) $\text{R}$

б) $\epsilon$

Решение:

а) радиус кривизны зеркала, если шарик за 12 с совершил 15 колебаний

Малые колебания шарика, который катится без проскальзывания, являются гармоническими. Сначала найдем период колебаний $\text{T}$ по исходным данным:

$T = \frac{t}{N} = \frac{12 \text{ с}}{15} = 0.8 \text{ с}$

Рассмотрим энергию шарика. Полная механическая энергия $\text{E}$ состоит из кинетической энергии поступательного движения центра масс $K_{пост}$, кинетической энергии вращения вокруг центра масс $K_{вращ}$ и потенциальной энергии $\text{U}$.

$E = K_{пост} + K_{вращ} + U$

Пусть $\text{m}$ – масса шарика, $\text{r}$ – его радиус, $\text{R}$ – радиус кривизны зеркала, а $\theta$ – угол отклонения от положения равновесия. Центр масс шарика движется по дуге окружности радиусом $(R-r)$.

Потенциальная энергия (при малых колебаниях, $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$):

$U = mg(R-r)(1-\cos\theta) \approx \frac{1}{2}mg(R-r)\theta^2$

Кинетическая энергия. Скорость центра масс $v = (R-r)\dot{\theta}$.

$K_{пост} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(R-r)^2\dot{\theta}^2$

Момент инерции сплошного шара $I = \frac{2}{5}mr^2$. Условие качения без проскальзывания: $v = \omega_{шар} r$, где $\omega_{шар}$ – угловая скорость вращения шарика. Отсюда $\omega_{шар} = v/r$.

$K_{вращ} = \frac{1}{2}I\omega_{шар}^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}mr^2\right)\left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{5}mv^2 = \frac{1}{5}m(R-r)^2\dot{\theta}^2$

Полная кинетическая энергия:

$K = K_{пост} + K_{вращ} = \frac{1}{2}m(R-r)^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{5}m(R-r)^2\dot{\theta}^2 = \frac{7}{10}m(R-r)^2\dot{\theta}^2$

Полная энергия системы сохраняется:

$E = \frac{7}{10}m(R-r)^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}mg(R-r)\theta^2 = \text{const}$

Продифференцировав по времени, получим уравнение движения:

$\ddot{\theta} + \frac{5g}{7(R-r)}\theta = 0$

Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega_0^2 = \frac{5g}{7(R-r)}$. Период колебаний равен:

$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{7(R-r)}{5g}}$

Поскольку шарик "маленький", его радиус $\text{r}$ можно считать пренебрежимо малым по сравнению с радиусом кривизны зеркала $\text{R}$ ($r \ll R$), поэтому $R-r \approx R$.

$T \approx 2\pi\sqrt{\frac{7R}{5g}}$

Выразим радиус кривизны $\text{R}$:

$R = \frac{5gT^2}{28\pi^2}$

Подставим числовые значения:

$R = \frac{5 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (0.8 \text{ с})^2}{28\pi^2} \approx \frac{31.36}{276.35} \approx 0.1135 \text{ м} \approx 11.4 \text{ см}$

Ответ: радиус кривизны зеркала равен приблизительно $11.4$ см.

б) ошибку определения радиуса кривизны этого зеркала, если считать движение шарика поступательным

Если считать движение шарика поступательным, то его вращательная кинетическая энергия не учитывается ($K_{вращ} = 0$). Тогда полная энергия системы будет:

$E' = K_{пост} + U = \frac{1}{2}m(R-r)^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}mg(R-r)\theta^2$

Уравнение движения в этом случае примет вид:

$\ddot{\theta} + \frac{g}{R-r}\theta = 0$

Период колебаний для такой модели (физического маятника) равен:

$T_{\text{пост}} = 2\pi\sqrt{\frac{R-r}{g}}$

С учетом приближения $r \ll R$:

$T_{\text{пост}} \approx 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$

Если использовать эту формулу для вычисления радиуса кривизны по измеренному периоду $T = 0.8 \text{ с}$, мы получим значение $R'$:

$R' = \frac{gT^2}{4\pi^2}$

Относительная ошибка определения радиуса вычисляется как $\epsilon = \frac{|R' - R|}{R}$, где $\text{R}$ – истинное значение, найденное в пункте а).

$\epsilon = \frac{R' - R}{R} = \frac{R'}{R} - 1$

Найдем отношение $\frac{R'}{R}$:

$\frac{R'}{R} = \frac{gT^2 / (4\pi^2)}{5gT^2 / (28\pi^2)} = \frac{1/4}{5/28} = \frac{1}{4} \cdot \frac{28}{5} = \frac{7}{5} = 1.4$

Тогда относительная ошибка равна:

$\epsilon = 1.4 - 1 = 0.4$

В процентах это составляет $40\%$. Таким образом, пренебрежение вращением шарика приводит к завышению результата на $40\%$.

Ответ: ошибка определения радиуса кривизны составит $40\%$.