Номер 4.111, страница 100 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.111, страница 100.

Условие.

4.111* Поршень массой $\text{m}$ делит цилиндр с газом на две равные части (в каждой части давление $\text{p}$). Поршень сдвинули влево на малое расстояние $\text{x}$ и отпустили (рис. 4.30). Полагая процесс изотермическим, определите период колебаний поршня. Площадь поперечного сечения цилиндра равна $\text{S}$. Трением пренебречь.

Рис. 4.30

Решение.

Дано:

Масса поршня: $\text{m}$

Начальное давление газа в каждой части: $\text{p}$

Площадь поперечного сечения цилиндра: $\text{S}$

Малое смещение поршня: $\text{x}$

Найти:

Период колебаний поршня: $\text{T}$

Решение:

В начальном состоянии поршень находится в равновесии. Это означает, что силы давления газа слева и справа от поршня равны. Обозначим начальную длину каждой из двух равных частей цилиндра через $\text{d}$. Тогда начальный объем газа в каждой части равен $V_0 = S \cdot d$.

Когда поршень сдвигают влево на малое расстояние $\text{x}$, объемы газа в левой и правой частях цилиндра изменяются. Новые объемы будут:

Объем левой части: $V_1 = S \cdot (d - x)$

Объем правой части: $V_2 = S \cdot (d + x)$

По условию, процесс изменения состояния газа является изотермическим, то есть температура газа $\text{T}$ остается постоянной. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта:

$p \cdot V = \text{const}$

Применим этот закон к газу в каждой части цилиндра. Начальное давление в обеих частях равно $\text{p}$. Пусть $p_1$ и $p_2$ - новые давления в левой и правой частях соответственно.

Для левой части: $p \cdot V_0 = p_1 \cdot V_1$

$p \cdot S \cdot d = p_1 \cdot S \cdot (d - x)$

$p_1 = p \frac{d}{d - x}$

Для правой части: $p \cdot V_0 = p_2 \cdot V_2$

$p \cdot S \cdot d = p_2 \cdot S \cdot (d + x)$

$p_2 = p \frac{d}{d + x}$

В результате изменения давлений на поршень начинает действовать результирующая сила, направленная к положению равновесия. Эта сила является возвращающей. Направим ось X вправо. Смещение $\text{x}$ было влево. Давление $p_1$ создает силу, направленную вправо, а давление $p_2$ — влево. Результирующая сила $\text{F}$ будет направлена вправо:

$F = F_1 - F_2 = p_1 S - p_2 S = (p_1 - p_2) S$

$F = \left( p \frac{d}{d - x} - p \frac{d}{d + x} \right) S = p S d \left( \frac{1}{d - x} - \frac{1}{d + x} \right)$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$F = p S d \frac{(d + x) - (d - x)}{(d - x)(d + x)} = p S d \frac{2x}{d^2 - x^2}$

Поскольку смещение $\text{x}$ мало по сравнению с $\text{d}$ ($x \ll d$), то в знаменателе можно пренебречь членом $x^2$ по сравнению с $d^2$. Таким образом, $d^2 - x^2 \approx d^2$.

$F \approx p S d \frac{2x}{d^2} = \frac{2pS}{d} x$

Полученное выражение для возвращающей силы имеет вид закона Гука $F = kx$, где $k = \frac{2pS}{d}$ — эффективный коэффициент жесткости системы. Движение под действием такой силы является гармоническим колебанием.

Согласно второму закону Ньютона, $F = ma$, где $\text{a}$ — ускорение поршня. Уравнение движения поршня имеет вид:

$m \ddot{x} = -kx$ (знак "минус" указывает, что сила направлена противоположно смещению)

Период гармонических колебаний определяется формулой:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим найденное значение коэффициента жесткости $\text{k}$:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{2pS}{d}}} = 2\pi \sqrt{\frac{md}{2pS}}$

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{md}{2pS}}$, где $\text{d}$ - начальная длина каждой из двух равных частей цилиндра.