Номер 4.113, страница 100 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.113, страница 100.

Условие.

4.113**. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и лёгкой пружины, связаны лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок (рис. 4.32). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,2. Отношение массы бруска к массе грузика равно 8. Грузик совершает колебания вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Наибольшая амплитуда колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 1,5 см. Найдите период колебаний.

Рис. 4.32

Решение.

Дано:

Коэффициент трения, $\mu = 0,2$

Отношение масс, $\frac{M}{m} = 8$

Наибольшая амплитуда, $A_{max} = 1,5 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$A_{max} = 1,5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,015 \text{ м}$

Найти:

Период колебаний, $\text{T}$

Решение:

Грузик массы $\text{m}$ совершает гармонические колебания на пружине. Период таких колебаний определяется по формуле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{k}$ — жесткость пружины.

Колебания грузика будут гармоническими только в том случае, если брусок массы $\text{M}$ остается в покое. Это возможно, пока сила натяжения нити $T_{str}$ не превышает максимальную силу трения покоя $F_{fr, max}$, действующую на брусок:

$T_{str} \le F_{fr, max}$

Максимальная сила трения покоя равна:

$F_{fr, max} = \mu N = \mu Mg$

где $\text{N}$ — сила нормальной реакции, равная силе тяжести бруска $\text{Mg}$.

Сила натяжения нити $T_{str}$ равна силе упругости пружины $F_{sp}$, так как нить и пружина соединены последовательно, а блок идеален:

$T_{str} = F_{sp}$

Таким образом, условие покоя бруска имеет вид:

$F_{sp} \le \mu Mg$

Сила упругости пружины зависит от ее растяжения. Грузик колеблется около положения равновесия, в котором сила упругости $F_{sp, eq}$ уравновешивает силу тяжести грузика $\text{mg}$: $F_{sp, eq} = k \Delta l_{eq} = mg$, где $\Delta l_{eq}$ - растяжение пружины в положении равновесия.

При гармонических колебаниях с амплитудой $\text{A}$ смещение грузика от положения равновесия равно $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. Растяжение пружины в любой момент времени равно $\Delta l(t) = \Delta l_{eq} + x(t)$.

Сила упругости пружины в этот момент равна:

$F_{sp}(t) = k \cdot \Delta l(t) = k(\Delta l_{eq} + x(t)) = k\Delta l_{eq} + kx(t) = mg + kx(t)$

Максимальная сила упругости достигается в нижней точке траектории, когда смещение $x = A$:

$F_{sp, max} = mg + kA$

В условии задачи сказано, что при наибольшей амплитуде $A_{max}$ колебания еще остаются гармоническими. Это означает, что при этой амплитуде брусок находится на грани проскальзывания, то есть максимальная сила натяжения нити равна максимальной силе трения покоя:

$F_{sp, max} = \mu Mg$

Подставим выражение для $F_{sp, max}$:

$mg + kA_{max} = \mu Mg$

Из этого уравнения выразим отношение $k/m$, необходимое для нахождения периода.

$kA_{max} = \mu Mg - mg = g(\mu M - m)$

Разделим обе части на $\text{m}$:

$\frac{k}{m} A_{max} = g(\mu \frac{M}{m} - 1)$

$\frac{k}{m} = \frac{g}{A_{max}}(\mu \frac{M}{m} - 1)$

Квадрат угловой частоты колебаний $\omega^2$ равен $k/m$. Период колебаний $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$.

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{A_{max}}{g(\mu \frac{M}{m} - 1)}}$

Подставим числовые значения (примем $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$):

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0,015}{9,8 \cdot (0,2 \cdot 8 - 1)}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,015}{9,8 \cdot (1,6 - 1)}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,015}{9,8 \cdot 0,6}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,015}{5,88}} \approx 2\pi \sqrt{0,00255} \approx 6,28 \cdot 0,0505 \approx 0,317 \text{ с}$

Ответ: $T \approx 0,32 \text{ с}$