Номер 4.106, страница 99 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.106, страница 99.

Условие.

4.106*. Найдите период малых колебаний жидкости в U-образной трубке постоянного сечения, если общая длина части сосуда, занятой жидкостью, равна L (рис. 4.28).

Рис. 4.28

Решение.

Дано:

L - общая длина части сосуда, занятой жидкостью

g - ускорение свободного падения

Найти:

T - период малых колебаний

Решение:

Рассмотрим U-образную трубку постоянного сечения $\text{S}$, в которой находится жидкость плотностью $\rho$. В положении равновесия уровни жидкости в обоих коленах одинаковы.

Выведем жидкость из положения равновесия, сместив её на малую величину $\text{x}$. Тогда в одном колене уровень жидкости опустится на $\text{x}$, а в другом поднимется на $\text{x}$ относительно положения равновесия. Разность высот уровней жидкости в коленах составит $h = 2x$.

На систему будет действовать возвращающая сила, обусловленная весом столба жидкости высотой $\text{h}$. Эта сила стремится вернуть систему в положение равновесия. Масса этого "избыточного" столба жидкости равна:

$\Delta m = \rho \cdot V_{изб} = \rho \cdot S \cdot h = 2 \rho S x$

Возвращающая сила $\text{F}$ равна весу этого столба жидкости и направлена в сторону, противоположную смещению:

$F = - \Delta m \cdot g = - 2 \rho g S x$

Эта сила сообщает ускорение $\text{a}$ всей жидкости в трубке. Общая масса жидкости, имеющей длину столба $\text{L}$, равна:

$m = \rho \cdot V_{общ} = \rho S L$

Согласно второму закону Ньютона, $F = ma$. Подставим выражения для силы $\text{F}$ и массы $\text{m}$:

$- 2 \rho g S x = (\rho S L) \cdot a$

Сократив на $\rho S$, получим:

$- 2 g x = L a$

Так как ускорение является второй производной смещения по времени ($a = x''$), уравнение движения можно записать в виде:

$L x'' = -2 g x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x'' + \frac{2g}{L} x = 0$

Это дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания. Стандартный вид такого уравнения: $x'' + \omega^2 x = 0$, где $\omega$ — циклическая (угловая) частота колебаний.

Сравнивая полученное уравнение со стандартным, находим квадрат циклической частоты:

$\omega^2 = \frac{2g}{L}$

Следовательно, циклическая частота равна:

$\omega = \sqrt{\frac{2g}{L}}$

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Подставив выражение для $\omega$, получим:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{2g}{L}}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}}$

Ответ:

Период малых колебаний жидкости равен $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}}$.