Номер 4.100, страница 98 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.100, страница 98.

Условие.

4.100*. Определите период малых колебаний конструкции (рис. 4.23) в вертикальной плоскости. Стержень шарнирно прикреплён к стенке. Массой стержня пренебречь. Трением пренебречь. Точка прикрепления пружины к стержню делит его длину в отношении 1 : 2, считая от шарика. В положении равновесия стержень горизонтален, а ось пружины вертикальна.

Рис. 4.23

Решение.

Дано:

Масса шарика: $\text{m}$

Жесткость пружины: $\text{k}$

Стержень невесомый, шарнирно закреплен.

Точка крепления пружины делит стержень в отношении $1:2$, считая от шарика.

В положении равновесия стержень горизонтален.

Трение отсутствует.

Найти:

Период малых колебаний $\text{T}$.

Решение:

Обозначим полную длину стержня как $\text{L}$. Пусть шарнир (точка вращения O) находится в начале координат. Тогда шарик массой $\text{m}$ находится на расстоянии $\text{L}$ от шарнира. Пружина прикреплена к стержню на расстоянии $l_s$ от шарнира.

Согласно условию, точка крепления пружины делит стержень в отношении $1:2$, считая от шарика. Это означает, что отношение длины отрезка от пружины до шарика к длине отрезка от пружины до шарнира равно $1:2$.

$\frac{L - l_s}{l_s} = \frac{1}{2}$

Решим это уравнение относительно $l_s$:

$2(L - l_s) = l_s$

$2L - 2l_s = l_s$

$2L = 3l_s$

$l_s = \frac{2}{3}L$

Рассмотрим малые колебания стержня вокруг положения равновесия. Будем использовать метод моментов сил. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

$I\alpha = M_{net}$

где $\text{I}$ — момент инерции системы относительно оси вращения, $\alpha$ — угловое ускорение, $M_{net}$ — суммарный момент внешних сил.

Ось вращения проходит через шарнир. Поскольку стержень невесом, момент инерции системы равен моменту инерции шарика, который можно считать материальной точкой:

$I = mL^2$

Угловое ускорение $\alpha = \ddot{\varphi}$, где $\varphi$ — малый угол отклонения стержня от горизонтального положения.

Найдем суммарный возвращающий момент сил $M_{net}$, действующий на систему при отклонении на малый угол $\varphi$ от положения равновесия. В положении равновесия ($\varphi=0$) сумма моментов сил равна нулю. Момент силы тяжести $M_g = mgL$ уравновешивается моментом силы упругости пружины $M_{s,0} = F_{s,0} l_s = (k \Delta y_0) l_s$, где $\Delta y_0$ — начальное растяжение пружины.

$mgL = k \Delta y_0 l_s$

При отклонении стержня на малый угол $\varphi$ вниз, точка крепления пружины сместится на $y_s = l_s \sin\varphi \approx l_s \varphi$, а шарик — на $y_m = L \sin\varphi \approx L\varphi$. Пружина дополнительно растянется на величину $y_s$. Новая сила упругости будет $F_s = k(\Delta y_0 + y_s)$.

Моменты сил относительно шарнира (считая вращение против часовой стрелки положительным):

Момент силы тяжести: $M_g = -mg(L\cos\varphi) \approx -mgL$

Момент силы упругости: $M_s = F_s(l_s\cos\varphi) \approx F_s l_s = k(\Delta y_0 + y_s)l_s$

Суммарный момент сил:

$M_{net} = M_s + M_g \approx k(\Delta y_0 + y_s)l_s - mgL = k\Delta y_0 l_s + ky_s l_s - mgL$

Учитывая условие равновесия $mgL = k \Delta y_0 l_s$, получаем:

$M_{net} \approx ky_s l_s = k(l_s\varphi)l_s = kl_s^2\varphi$

Этот момент направлен в сторону, противоположную отклонению (если мы отклонили вниз, то возвращающий момент направлен вверх), поэтому его следует записать со знаком минус: $M_{net} = -kl_s^2\varphi$.

Подставим все в уравнение динамики вращательного движения:

$mL^2 \ddot{\varphi} = -kl_s^2 \varphi$

$mL^2 \ddot{\varphi} + kl_s^2 \varphi = 0$

Разделим на $mL^2$:

$\ddot{\varphi} + \frac{kl_s^2}{mL^2}\varphi = 0$

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида $\ddot{\varphi} + \omega^2\varphi = 0$, где $\omega$ — циклическая частота колебаний.

$\omega^2 = \frac{kl_s^2}{mL^2}$

Подставим найденное ранее соотношение $l_s = \frac{2}{3}L$:

$\omega^2 = \frac{k(\frac{2}{3}L)^2}{mL^2} = \frac{k \cdot \frac{4}{9}L^2}{mL^2} = \frac{4k}{9m}$

Отсюда циклическая частота:

$\omega = \sqrt{\frac{4k}{9m}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

$T = \frac{2\pi}{\frac{2}{3}\sqrt{\frac{k}{m}}} = \frac{2\pi \cdot 3}{2\sqrt{\frac{k}{m}}} = 3\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Ответ: $T = 3\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$