Номер 4.94, страница 97 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Математический маятник - номер 4.94, страница 97.

Условие.

4.94*. На какую часть длины нужно уменьшить длину нити математического маятника, чтобы период колебаний на высоте 60 км был равен периоду колебаний на поверхности Земли?

Решение.

Дано:

Высота над поверхностью Земли, $h = 60$ км

Средний радиус Земли, $R_E = 6400$ км

Найти:

Относительное изменение длины нити, $\frac{\Delta l}{l_0} - ?$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ – длина нити, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

На поверхности Земли период колебаний $T_0$ маятника с первоначальной длиной нити $l_0$ равен:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g_0}}$

где $g_0$ – ускорение свободного падения на поверхности Земли.

На высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли период колебаний $T_h$ маятника с новой (уменьшенной) длиной нити $l_h$ равен:

$T_h = 2\pi\sqrt{\frac{l_h}{g_h}}$

где $g_h$ – ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$.

Согласно условию задачи, периоды колебаний должны быть равны: $T_0 = T_h$.

$2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g_0}} = 2\pi\sqrt{\frac{l_h}{g_h}}$

Возведя обе части уравнения в квадрат и сократив общие множители, получим отношение длин:

$\frac{l_0}{g_0} = \frac{l_h}{g_h} \Rightarrow \frac{l_h}{l_0} = \frac{g_h}{g_0}$

Ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра Земли согласно закону всемирного тяготения:

$g = G\frac{M}{r^2}$

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса Земли, $\text{r}$ – расстояние до центра Земли.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_E$, поэтому:

$g_0 = G\frac{M}{R_E^2}$

На высоте $\text{h}$ расстояние до центра равно $R_E + h$, поэтому:

$g_h = G\frac{M}{(R_E + h)^2}$

Найдем отношение ускорений свободного падения:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{G\frac{M}{(R_E + h)^2}}{G\frac{M}{R_E^2}} = \frac{R_E^2}{(R_E + h)^2} = \left(\frac{R_E}{R_E + h}\right)^2$

Следовательно, отношение длин нитей равно:

$\frac{l_h}{l_0} = \left(\frac{R_E}{R_E + h}\right)^2$

Вопрос задачи состоит в том, на какую часть первоначальной длины нужно уменьшить нить. Эта часть равна $\frac{\Delta l}{l_0} = \frac{l_0 - l_h}{l_0}$.

$\frac{\Delta l}{l_0} = 1 - \frac{l_h}{l_0} = 1 - \left(\frac{R_E}{R_E + h}\right)^2$

Подставим числовые значения. Обратите внимание, что единицы измерения (километры) сокращаются, поэтому нет необходимости переводить их в систему СИ.

$\frac{\Delta l}{l_0} = 1 - \left(\frac{6400}{6400 + 60}\right)^2 = 1 - \left(\frac{6400}{6460}\right)^2 = 1 - \left(\frac{640}{646}\right)^2$

Для удобства вычислений воспользуемся формулой разности квадратов:

$\frac{\Delta l}{l_0} = 1 - \frac{640^2}{646^2} = \frac{646^2 - 640^2}{646^2} = \frac{(646 - 640)(646 + 640)}{646^2} = \frac{6 \cdot 1286}{646^2} = \frac{7716}{417316} \approx 0.018489$

Округляя результат, получаем, что длину нити нужно уменьшить примерно на 0.0185 от ее первоначальной длины.

Ответ: Длину нити математического маятника нужно уменьшить на часть, равную $\frac{\Delta l}{l_0} \approx 0.0185$ (или на 1.85%).