Номер 4.96, страница 97 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Математический маятник - номер 4.96, страница 97.

Условие.

4.96*. В покоящейся ракете период колебаний маятника равен 1 с. При движении ракеты вертикально вверх период колебаний уменьшился вдвое. Определите ускорение ракеты.

Решение.

Дано:

Период колебаний в покоящейся ракете: $T_1 = 1$ с.

Соотношение периодов: $T_2 = \frac{T_1}{2}$.

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$.

Найти:

Ускорение ракеты $\text{a}$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$

где $\text{l}$ – длина маятника, а $g_{eff}$ – эффективное ускорение свободного падения.

1. Когда ракета покоится, на маятник действует только ускорение свободного падения $\text{g}$. Таким образом, $g_{eff} = g$. Период колебаний $T_1$ равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

2. Когда ракета движется вертикально вверх с ускорением $\text{a}$, в неинерциальной системе отсчета, связанной с ракетой, на тело действует сила инерции, направленная противоположно ускорению, то есть вниз. Эта сила создает дополнительное ускорение, равное $\text{a}$. Следовательно, эффективное ускорение, действующее на маятник, становится равным $g_{eff} = g + a$. Период колебаний $T_2$ в этом случае будет:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}$

Из условия задачи нам известно, что $T_2 = \frac{T_1}{2}$, или $\frac{T_1}{T_2} = 2$.

Составим отношение периодов $T_1$ и $T_2$:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}} = \sqrt{\frac{l}{g} \cdot \frac{g+a}{l}} = \sqrt{\frac{g+a}{g}}$

Подставим в это выражение известное нам соотношение периодов:

$2 = \sqrt{\frac{g+a}{g}}$

Чтобы найти $\text{a}$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$4 = \frac{g+a}{g}$

Теперь выразим $g+a$:

$4g = g+a$

Отсюда находим ускорение ракеты $\text{a}$:

$a = 4g - g = 3g$

Подставим числовое значение для ускорения свободного падения $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$:

$a = 3 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 = 29.4 \, \text{м/с}^2$

Ответ: ускорение ракеты равно $29.4 \, \text{м/с}^2$.