Номер 4.89, страница 97 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Математический маятник - номер 4.89, страница 97.

Условие.

4.89. Найдите отношение длин нитей математических маятников, если:

а) за одно и то же время один совершает 10, а второй 30 колебаний;

б) на совершение одинакового количества колебаний второй маятник затрачивает в 1,2 раза больше времени, чем первый.

Рис. 4.21

Решение.

а) за одно и то же время один совершает 10, а второй 30 колебаний

Дано:
Время колебаний: $t_1 = t_2 = t$
Число колебаний первого маятника: $N_1 = 10$
Число колебаний второго маятника: $N_2 = 30$

Найти:
Отношение длин нитей: $\frac{l_1}{l_2}$

Решение:
Период колебаний математического маятника определяется по формуле:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $\text{l}$ — длина нити, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.
Также период можно найти как отношение общего времени колебаний $\text{t}$ к числу полных колебаний $\text{N}$, совершенных за это время: $T = \frac{t}{N}$.
Для первого маятника период равен $T_1 = \frac{t}{N_1} = \frac{t}{10}$.
Для второго маятника период равен $T_2 = \frac{t}{N_2} = \frac{t}{30}$.
Найдем отношение периодов этих двух маятников:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{t/N_1}{t/N_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{30}{10} = 3$.
С другой стороны, отношение периодов можно выразить через отношение длин их нитей:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{l_1/g}}{2\pi\sqrt{l_2/g}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$.
Приравняв два полученных выражения для отношения периодов, получим:
$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = 3$.
Чтобы найти искомое отношение длин, возведем обе части уравнения в квадрат:
$\frac{l_1}{l_2} = 3^2 = 9$.
Ответ: отношение длины нити первого маятника к длине нити второго равно 9.

б) на совершение одинакового количества колебаний второй маятник затрачивает в 1,2 раза больше времени, чем первый

Дано:
Число колебаний: $N_1 = N_2 = N$
Соотношение времени колебаний: $t_2 = 1.2 \cdot t_1$

Найти:
Отношение длин нитей: $\frac{l_1}{l_2}$

Решение:
Как и в предыдущем пункте, используем формулы для периода: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ и $T = \frac{t}{N}$.
Период первого маятника: $T_1 = \frac{t_1}{N}$.
Период второго маятника: $T_2 = \frac{t_2}{N}$.
Найдем отношение периодов:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{t_2/N}{t_1/N} = \frac{t_2}{t_1}$.
Подставим известное соотношение времен $t_2 = 1.2 \cdot t_1$:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{1.2 \cdot t_1}{t_1} = 1.2$.
Выразим отношение периодов через длины нитей:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{l_2/g}}{2\pi\sqrt{l_1/g}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$.
Приравняем полученные выражения для отношения периодов:
$\sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = 1.2$.
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{l_2}{l_1} = 1.2^2 = 1.44$.
Мы нашли отношение длины второго маятника к первому. Чтобы найти искомое отношение $\frac{l_1}{l_2}$, возьмем обратную величину:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{1.44} = \frac{1}{144/100} = \frac{100}{144} = \frac{25}{36}$.
Ответ: отношение длины нити первого маятника к длине нити второго равно $25/36$.