Номер 4.97, страница 97 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Математический маятник - номер 4.97, страница 97.

Условие.

4.97*. Математический маятник совершает свободные колебания с периодом $\text{T}$ вблизи стены. Найдите период колебаний маятника, если на одной вертикали с точкой подвеса в стену вбить гвоздь на расстоянии $3/4$ длины маятника от точки подвеса.

Решение.

Дано:

Период свободных колебаний математического маятника: $\text{T}$

Длина маятника: $\text{l}$

Расстояние от точки подвеса до гвоздя: $h = \frac{3}{4}l$

Найти:

Новый период колебаний маятника: $T'$

Решение:

Период свободных колебаний математического маятника длиной $\text{l}$ определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Когда в стену вбит гвоздь, движение маятника изменяется. Полное колебание будет состоять из двух полуколебаний с разными периодами.

1. Когда маятник отклоняется в одну сторону (например, влево от положения равновесия), нить не касается гвоздя. Маятник совершает половину колебания как обычный маятник длиной $\text{l}$. Время этого полуколебания равно половине его периода:

$t_1 = \frac{T}{2}$

2. Когда маятник проходит положение равновесия и отклоняется в другую сторону (вправо), нить упирается в гвоздь. Теперь точкой подвеса становится гвоздь, а эффективная длина маятника уменьшается. Новая длина маятника $l'$ будет равна разности исходной длины и расстояния от точки подвеса до гвоздя:

$l' = l - h = l - \frac{3}{4}l = \frac{1}{4}l$

Теперь маятник совершает вторую половину колебания с новой длиной $l'$. Период колебаний для маятника такой длины, обозначим его $T_2$, будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l'}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{l/4}{g}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = \frac{1}{2}T$

Время этого второго полуколебания равно половине периода $T_2$:

$t_2 = \frac{T_2}{2} = \frac{(1/2)T}{2} = \frac{T}{4}$

Полный период нового колебания $T'$ будет равен сумме времени двух полуколебаний:

$T' = t_1 + t_2 = \frac{T}{2} + \frac{T}{4}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$T' = \frac{2T}{4} + \frac{T}{4} = \frac{3T}{4}$

Ответ: $T' = \frac{3}{4}T$