Номер 4.109, страница 99 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.109, страница 99.

Условие.

4.109*. Вычислите период малых колебаний ареометра, погружённого в воду, которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра 50 г, радиус его трубки 5 мм. Силами сопротивления пренебречь.

Решение.

Дано:

$m = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

$r = 5 \text{ мм} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{T}$

Решение:

Когда ареометр находится в состоянии равновесия, он плавает в воде, и действующая на него сила тяжести $F_g = mg$ уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_{A0}$.

$F_g = F_{A0}$

При сообщении ареометру небольшого толчка, он смещается из положения равновесия по вертикали на малую величину $\text{x}$. Это приводит к изменению объема погруженной части ареометра на величину $\Delta V$. Так как смещение происходит вдоль цилиндрической трубки, изменение объема равно:

$\Delta V = S \cdot x$, где $\text{S}$ - площадь поперечного сечения трубки.

$S = \pi r^2$

Изменение объема погруженной части вызывает изменение выталкивающей силы на $\Delta F_A$:

$\Delta F_A = \rho g \Delta V = \rho g \pi r^2 x$

Эта сила $\Delta F_A$ является возвращающей силой, так как она направлена противоположно смещению $\text{x}$. По второму закону Ньютона, уравнение движения ареометра можно записать как:

$ma = F_{возвр} = - \Delta F_A$

$m\ddot{x} = - (\rho g \pi r^2) x$

Данное уравнение является уравнением гармонических колебаний вида $m\ddot{x} = -kx$, где $\text{k}$ — коэффициент жесткости системы (в данном случае — квазиупругий коэффициент). Сравнивая уравнения, находим:

$k = \rho g \pi r^2$

Период гармонических колебаний $\text{T}$ определяется по формуле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим в эту формулу выражение для коэффициента $\text{k}$:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho g \pi r^2}}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.05 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \pi \cdot (5 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2}}$

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.05}{1000 \cdot 9.8 \cdot \pi \cdot 25 \cdot 10^{-6}}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.05}{9800 \cdot \pi \cdot 25 \cdot 10^{-6}}}$

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.05}{0.245 \pi}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{0.05}{0.7697}}$

$T \approx 2\pi \sqrt{0.06496} \approx 6.283 \cdot 0.2549 \approx 1.60 \text{ с}$

Ответ: $T \approx 1.6 \text{ с}$.