Номер 4.110, страница 100 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.110, страница 100.

Условие.

4.110*. Однородный цилиндр с площадью поперечного сечения $10^{-2} \text{ м}^2$ плавает на границе несмешивающихся жидкостей плотностью $800 \text{ кг/м}^3$ и $1000 \text{ кг/м}^3$ (рис. 4.29). Пренебрегая трением и сопротивлением жидкостей, определите массу цилиндра, если период его малых вертикальных колебаний $\pi/5$ с.

Рис. 4.29

Решение.

Дано:

Площадь поперечного сечения цилиндра: $S = 10^{-2} \text{ м}^2$

Плотность верхней жидкости: $\rho_1 = 800 \text{ кг/м}^3$

Плотность нижней жидкости: $\rho_2 = 1000 \text{ кг/м}^3$

Период малых вертикальных колебаний: $T = \pi/5 \text{ с}$

Ускорение свободного падения: $g = 10 \text{ м/с}^2$ (примем стандартное значение для упрощения расчетов)

Найти:

Массу цилиндра $\text{m}$.

Решение:

Когда цилиндр совершает малые вертикальные колебания, на него действует возвращающая сила, обусловленная изменением силы Архимеда. Рассмотрим смещение цилиндра из положения равновесия вниз на малую величину $\text{x}$.

При таком смещении объем части цилиндра, погруженной в верхнюю жидкость (с плотностью $\rho_1$), уменьшится на величину $\Delta V_1 = S \cdot x$, а объем части, погруженной в нижнюю жидкость (с плотностью $\rho_2$), увеличится на ту же величину $\Delta V_2 = S \cdot x$.

Изменение выталкивающей силы (силы Архимеда) будет равно:

$\Delta F_A = F_{A2, \text{изм}} - F_{A1, \text{изм}} = \rho_2 g \Delta V_2 - \rho_1 g \Delta V_1$

Подставив выражения для $\Delta V_1$ и $\Delta V_2$, получим:

$\Delta F_A = \rho_2 g S x - \rho_1 g S x = (\rho_2 - \rho_1) g S x$

Эта сила направлена вверх, то есть в сторону, противоположную смещению $\text{x}$. Следовательно, она является возвращающей силой:

$F_{возвр} = - \Delta F_A = -(\rho_2 - \rho_1) g S x$

Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения цилиндра имеет вид $m a = F_{возвр}$, где $a = \ddot{x}$ - ускорение цилиндра:

$m \ddot{x} = -(\rho_2 - \rho_1) g S x$

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, которое можно записать в стандартной форме $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, где $\omega$ - циклическая частота колебаний.

$\ddot{x} + \frac{(\rho_2 - \rho_1) g S}{m} x = 0$

Отсюда квадрат циклической частоты равен:

$\omega^2 = \frac{(\rho_2 - \rho_1) g S}{m}$

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$, откуда $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Возведя в квадрат, получим $\omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$.

Приравняем два выражения для $\omega^2$:

$\frac{(\rho_2 - \rho_1) g S}{m} = \frac{4\pi^2}{T^2}$

Из этого соотношения выразим искомую массу цилиндра $\text{m}$:

$m = \frac{(\rho_2 - \rho_1) g S T^2}{4\pi^2}$

Подставим известные значения в формулу:

$m = \frac{(1000 \text{ кг/м}^3 - 800 \text{ кг/м}^3) \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 \cdot (\pi/5 \text{ с})^2}{4\pi^2}$

$m = \frac{200 \cdot 10 \cdot 10^{-2} \cdot (\frac{\pi^2}{25})}{4\pi^2} = \frac{20 \cdot \frac{\pi^2}{25}}{4\pi^2}$

Сократим $\pi^2$ в числителе и знаменателе:

$m = \frac{20}{25 \cdot 4} = \frac{20}{100} = 0.2 \text{ кг}$

Ответ: масса цилиндра равна $0.2 \text{ кг}$.