Номер 5.5, страница 105 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.5, страница 105.

Условие.

5.5. Между пластинами плоского воздушного конденсатора, включённого в колебательный контур (см. рис. 5.2), вводят диэлектрик с диэлектрической проницаемостью, равной 4. Во сколько раз изменится частота колебаний?

Рис. 5.2

Решение.

Дано:

$\varepsilon_1 = 1$ (диэлектрическая проницаемость воздуха)
$\varepsilon_2 = 4$

Найти:

$\frac{\nu_1}{\nu_2}$ - ?

Решение:

Частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — ёмкость конденсатора. В данной задаче индуктивность катушки $\text{L}$ не изменяется.

Ёмкость плоского конденсатора зависит от диэлектрической проницаемости среды между его пластинами и рассчитывается по формуле:

$C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}$

где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды, $\text{S}$ — площадь пластин, $\text{d}$ — расстояние между ними.

В начальном состоянии, когда конденсатор воздушный, его ёмкость равна $C_1$. Диэлектрическая проницаемость воздуха $\varepsilon_1 \approx 1$.

$C_1 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_1 S}{d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$

Соответственно, начальная частота колебаний в контуре:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

После того, как между пластинами ввели диэлектрик с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_2 = 4$, ёмкость конденсатора изменилась и стала равной $C_2$:

$C_2 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_2 S}{d} = \frac{4\varepsilon_0 S}{d}$

Сравним новую ёмкость $C_2$ с начальной $C_1$:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{\frac{4\varepsilon_0 S}{d}}{\frac{\varepsilon_0 S}{d}} = 4$

Таким образом, $C_2 = 4C_1$. Ёмкость конденсатора увеличилась в 4 раза.

Новая частота колебаний в контуре будет равна:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot 4C_1}} = \frac{1}{2\pi \cdot 2\sqrt{LC_1}}$

Чтобы найти, во сколько раз изменилась частота, найдём отношение начальной частоты $\nu_1$ к конечной $\nu_2$:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}} = \frac{\sqrt{LC_2}}{\sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}}$

Подставим найденное отношение ёмкостей:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \sqrt{4} = 2$

Это означает, что $\nu_2 = \frac{\nu_1}{2}$. Следовательно, частота колебаний уменьшилась в 2 раза.

Ответ: Частота колебаний уменьшится в 2 раза.